Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Kết nối tri thức Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Mục 1 trang 43, 44, 45 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b),  bán kính R (H.7.13). Kh...

Mục 1 trang 43, 44, 45 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b),  bán kính R (H.7.13). Kh...

Giải mục 1 trang 43, 44, 45 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức - Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

HĐ1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b),  bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Lời giải chi tiết :

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) khi và chỉ khi \(MI = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}}  = R\) hay \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Luyện tập 1

Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 7\).

Hướng dẫn giải :

Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết :

Phương trình của \(\left( C \right)\) là \({\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).

Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 7 \).

Luyện tập 2

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) \({x^2} - {y^2} - 2x + 4y - 1 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6 = 0\)

c) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\)

Hướng dẫn giải :

Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2ax -2by +c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Lời giải chi tiết :

a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) bằng -1).

b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.

c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {11} \).

Luyện tập 3

Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Tâm \(J\) là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính \(R = JM\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(d,\Delta \) lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right);\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Phương trình tổng quát của \(d\) là: \(1\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 9 = 0\).

Tương tự, ta có phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(x - 7y - 34 = 0\).

Gọi \(J\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó \(J = d \cap \Delta \), do đó tọa điểm \(J\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7y - 34 = 0\\x - 2y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1; - 5} \right)\)

Từ đó ta tìm được \(R = JM = 5\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\)

\(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\) thuộc (C) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
16 + 25 + 8a - 10b + c = 0\\
4 + 1 + 4a - 2b + c = 0\\
9 + 64 + 6a - 16b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8a - 10b + c = - 41\\
4a - 2b + c = - 5\\
6a - 16b + c = - 73
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 5 \,\,\, \rm{(thỏa mãn)}\\
c = 1
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: \({x^2} + {y^2} + 2x + 10y + 1 = 0\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).

Vận dụng 1

Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải chi tiết :

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (\({m^2}\)). Khi đó \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0, 0), bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,57y - 8 = 0\).

Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), đồng thời M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\Delta \)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_{OH}}}  = \left( {1,57;2,57} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{OH}}}  = \left( {2,57; - 1,57} \right)\).

Phương trình OH là \(2,57x - 1,57y = 0\)

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1,57x + 2,57y - 8 = 0\\2,57x - 1,57y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,38\\y \approx 2,27\end{array} \right.\)

Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm đầu tiên ở cấp trung học phổ thông, bước vào một môi trường mới với nhiều bạn bè từ khắp nơi. Hãy tận hưởng thời gian này và bắt đầu định hướng tương lai cho mình!

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK