Mục 1 trang 72, 73, 74 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:...

HĐ1

Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);

Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;

Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

 Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).

Lời giải chi tiết :

 Tổng các tích nhân được bằng với kết quả khai triển của tích (a+b).(c+d)= a.c+a.d+b.c+b.d

HĐ2

Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).

 Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng \({a^3},{a^2}b,a{b^2},{b^3}?\)

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển \({(a + b)^3}.\)

Lời giải chi tiết :

Các đơn thức còn thiếu hàng trên lần lượt là: b, a, b, a, b. Hàng dưới lần lượt là: \({a^2}b,a{b^2},{a^2}b,a{b^2},a{b^2}\)

Ta có: \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)

Các hệ số nhận được khi khai triển là bằng nhau.

HĐ3

Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển \({(a + b)^4}\)  được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm \({2^4}\) (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là \({a^3}b\). Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với  \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^1\).

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

\({a^4};\quad {a^3}b;\quad {a^2}{b^2};\quad a{b^3};\quad {b^4}?\)

Lời giải chi tiết :

Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}\) trong tổng là  \(C_4^0 = 1\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là  \(C_4^4 = 1\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^2}\) trong tổng là  \(C_4^2 = 6\)

 Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^3}\) trong tổng là  \(C_4^3 = 1\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({b^4}\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)

Luyện tập 1

Khai triển \({(x - 2)^4}\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với a= x, b= -2.

Lời giải chi tiết :

\({(x - 2)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.( - 2) + 6.{x^2}.{( - 2)^2} + 4.x.{( - 2)^3} + {( - 2)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\)

HĐ4

Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển \({(a + b)^5}\), ta thu được một tổng gồm \({2^5}\) đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là \({a^2}{b^3}\). Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_5^3\).

 Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

\({a^5};{a^4}b;{a^3}{b^2};{a^2}{b^3};a{b^4};{b^5}?\)

Lời giải chi tiết :

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^5}\) trong tổng là \(C_5^0 = 1\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}b\)trong tổng là \(C_5^1 = 5\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}{b^2}\) trong tổng là \(C_5^2 = 10\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^3}\) trong tổng là \(C_5^3 = 10\)

 Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^4}\)trong tổng là \(C_5^4 = 5\)

 Số đơn thức đồng dạng với \({b^5}\) trong tổng là \(C_5^5 = 1\)

Luyện tập 2

Khai triển \({(3x - 2)^5}\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)với a= 3x, b= -2

Lời giải chi tiết :

 Ta có

 \(\begin{array}{l}{(3x - 2)^5} = {(3x)^5} + 5.{(3x)^4}.( - 2) + 10.{(3x)^3}.{( - 2)^2}\\ + 10.{(3x)^2}.{( - 2)^3} + 5.3x.{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\\ = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\end{array}\)

Vận dụng

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Hướng dẫn giải :

a)     Áp dụng công thức khai triển

 \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

b)    Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

a)     Giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\) là: \({1^4} + {4.1^3}.0,05 = 1,2\)

b)    \(1,{05^4} = 1,2155\)

Sai số tuyệt đối là: 1,2155-1,2=0,0155