Bài tập 10 trang 128 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại B có góc \(\widehat A = {30^o}, AB = 6cm\)...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại B có góc \(\widehat A = {30^o},AB = 6cm\). Vẽ tia Bt sao cho \(\widehat {tBC} = {30^o}\), cắt tia AC ở D (C nằm giữa A và D).

a) Chứng minh tam giác ABD cân tại B.

b) Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải :

a) + Tính được \(\widehat {DBA} = \widehat {DBC} + \widehat {CBA} = {120^o}\).

+ Tính được \(\widehat {BDA} = {30^o}\) nên tam giác ABD cân tại B.

b) + \(BD = AB = 6cm\).

+ Kẻ DE vuông góc với AB tại E. Khi đó, DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

+ \(\widehat {DBE} = {180^o} - \widehat {DBA} = {60^o}\).

+ Tam giác BED vuông tại E nên \(ED = BD.\sin \widehat {DBE}\).

Lời giải chi tiết :

a) \(\Delta \)ABC vuông tại B nên \(\widehat {CBA} = {90^o}\). Ta có: \(\widehat {DBA} = \widehat {DBC} + \widehat {CBA} = {30^o} + {90^o} = {120^o}\)

\(\Delta \)DBC có: \(\widehat {BDA} = {180^o} - \widehat {DBA} - \widehat A = {180^o} - {120^o} - {30^o} = {30^o}\). Do đó, \(\widehat {BDA} = \widehat A\) nên \(\Delta \)ABD cân tại B.

b) Vì \(\Delta \)ABD cân tại B nên \(BD = AB = 6cm\).

Kẻ DE vuông góc với AB tại E. Khi đó, DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

Ta có: \(\widehat {DBE} = {180^o} - \widehat {DBA} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\).

\(\Delta \)BED vuông tại E nên \(ED = BD.\sin \widehat {DBE} = 6.\sin {60^o} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AB bằng \(3\sqrt 3 \)cm.