Bài 5.6 trang 90 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó...

Đề bài :

Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

b) Tính\(\tan \alpha \)nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng \(2\alpha .\)

Hướng dẫn giải :

a) Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(OH \bot AB\) hay khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH. Sau đó áp dụng định lý Pythagore để tính OH.

b) \(\widehat {AOB} = 2\alpha \Rightarrow \alpha = \widehat {HOA}\). Xét tam giác OAH để tính \(\tan \alpha .\)

Lời giải chi tiết :

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra: \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Suy ra: \(\Delta OAH = \Delta OBH\)(c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OHB}\) và \(\widehat {OHB}\) là hai góc bù nhau nên \(\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 2\widehat {OHB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = 90^\circ \) hay \(OH \bot AB\)

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: \(A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}\)(định lý Pythagore)

hay \(O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow OH = 4\) (cm)

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

b) Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là \(\widehat {AOB} = 2\alpha \)

Mà theo câu a) \(\Delta OAH = \Delta OBH \Rightarrow \widehat {HOA} = \widehat {HOB}\) (2 góc tương ứng)

Lại có: \(\widehat {HOA} + \widehat {HOB} = \widehat {AOB} \Rightarrow 2\widehat {HOA} = 2\alpha \Rightarrow \widehat {HOA} = \alpha \)

Suy ra: \(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{3}{4}\)