Bài 6 trang 91 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M...

Đề bài :

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho 2AM = MD, 2BN = NC. Biết AB = 5cm, CD = 6cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải :

Gọi E là giao điểm của AC và MN

Sử dụng các tam giác đồng dạng để tính độ dài ME, EN. Từ đó tính độ dài đoạn MN.

Lời giải chi tiết :

Vẽ đường thẳng đi qua M song song với CD cắt AC tại E.

Khi đó $\frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}$ (theo định lý Thalès). Do đó $\frac{AE}{EC}=\frac{BN}{NC}$ và kéo theo NE // AB (theo định lý Thalès đảo). Như vậy ME và NE cùng song song với hai cạnh đáy của hình thang và do đó chúng trùng nhau, hay nói cách khác M, N, E thẳng hàng.

Mặt khác $\Delta AME\backsim \Delta ADC$ (vì ME // DC) nên $\frac{ME}{DC}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$, hay $ME=\frac{DC}{3}=2cm$.

Tương tự, $\Delta CEN\backsim \Delta CAB$ (vì NE // AB) nên $\frac{EN}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac{2}{3}$, hay $EN=\frac{2AB}{3}=\frac{10}{3}(cm)$. Vậy MN = ME + EN = $\frac{16}{3}$ (cm).