Bài 5 trang 56 vở thực hành Toán 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A...

Đề bài :

Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28).

Chứng minh rằng:

a) ∆ADH = ∆CBK.

b) Tứ giác AHCK là hình bình hành.

c) AC đi qua trung điểm O của HK.

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh ∆ADH = ∆CBK theo trường hợp góc – cạnh – góc.

b) Chứng minh tứ giác AHCK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau suy ra AHCK là hình bình hành.

c) AHCK là hình bình hành nên suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm suy ra AC đi qua trung điểm O của HK.

Lời giải chi tiết :

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AD // BC \( \Rightarrow {\hat D_1} = {\hat B_1}\), (hai góc so le trong).

Xét ∆ADH và ∆CBK có AD = CB, \({\hat D_1} = {\hat B_1},\widehat {AHD} = \widehat {CKB} = 90^\circ .\)

⇒ ∆ADH = ∆CBK (g.c.g).

b) Từ giả thiết ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD ⇒ AH // CK (1).

∆ADH = ∆CBK ⇒ AH = CK (hai cạnh tương ứng bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

c) Vì AHCK là hình bình hành nên có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó AC đi qua trung điểm O của HK.