Bài 9.37 trang 60 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giáBiết rằng \(BD = 2cm...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giác. Biết rằng \(BD = 2cm,CD = 8cm.\) Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC và chiều cao AD của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để tính AD: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức định lí Pythagore để tính độ dài AB, AC: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết :

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên \(AD \bot BC\). Do đó, \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\)

Tam giác ABD và tam giác CAD có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\left( {cmt} \right),\widehat {BAD} = \widehat C\) (cùng phụ với góc DAC). Do đó, $\Delta ABD\backsim \Delta CAD\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(A{D^2} = CD.BD = 2.8 = 16\)

Do đó, \(AD = 4cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 16 + {2^2} = 20\) nên \(AB = 2\sqrt 5 cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D có:

\(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = 16 + {8^2} = 80\) nên \(AC = 4\sqrt 5 cm\)