Bài 9.64 trang 68 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác ABC với \(AB > AC\). Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho \(AC = AD\)...

Đề bài :

Cho tam giác ABC với \(AB > AC\). Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho \(AC = AD\). Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:

a) \(A{D^2} = AF.AB\)

b) $\Delta ACF\backsim \Delta ABC$

(Đề bài điểm D nằm trên BC không chính xác nên Loigiaihay sửa lại D thuộc AB.)

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức định lí (một trường hợp đặc biệt của hai tam giác đồng dạng) để chứng minh: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác ABC có: DE//BC nên $\Delta ADE\backsim \Delta ABC,$ do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) hay \(AD = \frac{{AB.AE}}{{AC}}\) (1)

Tam giác ADC có: FE//DC nên $\Delta AFE\backsim \Delta ADC,$ do đó \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) hay \(AD = \frac{{AF.AC}}{{AE}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{D^2} = \frac{{AB.AE}}{{AC}}.\frac{{AF.AC}}{{AE}} = AB.AF\)

b) Ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (do \(AC = AD\) nên \(AE = AF\))

Xét tam giác ACF và tam giác ABC có:

Góc A chung, \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)

Do đó, $\Delta ACF\backsim \Delta ABC$ (c – g – c)