Bài 6.40 trang 15 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho phân thức \(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\left( {x \ne - \frac{1}{2}} \right)\) Tìm thương và...

Đề bài :

Cho phân thức \(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\left( {x \ne - \frac{1}{2}} \right)\)

a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức \(4{x^2} + 2x + 3\) cho đa thức \(2x + 1\)

b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên.

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức chia đa thức cho đa thức

b) + Sử dụng kiến thức giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến để tính giá trị phân thức: Muốn tính giá trị của một phân thức tại một giá trị đã cho của biến ta thay giá trị đã cho của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị biểu thức số nhận được.

+ Một phân số là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số (hay mẫu số là ước của tử số).

Lời giải chi tiết :

a) Chia đa thức \(4{x^2} + 2x + 3\) cho đa thức \(2x + 1\) được thương là 2x và dư là 3.

Do đó, \(4{x^2} + 2x + 3 = 2x\left( {2x + 1} \right) + 3\)

b) \(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) + 3}}{{2x + 1}} = 2x + \frac{3}{{2x + 1}}\)

Để x, P thuộc \(\mathbb{Z}\) thì \(\frac{3}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z}.\)

Suy ra, \(2x + 1\) là một ước số nguyên của 3. Do đó, \(2x + 1 \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\)

Ta có bảng

Vậy \(x \in \left\{ {0; - 1; - 2;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán