Bài 3.11 trang 34 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD...

Đề bài :

Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng \(AD = 2cm\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng tính chất của hình thang cân, tam giác và công thức tính chu vi hình thang.

Lời giải chi tiết :

Do CA là tia phân giác của \(\widehat C\) nên \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\)

Mà ABCD là hình thang cân nên \(AB//CD\), suy ra \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\) hai góc so le trong)

Do đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA}\), suy ra \(\Delta ABC\) cân tại B.

Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \) thì \(\widehat C = 2\alpha \).

Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat D = \widehat C = 2\alpha \).

Tam giác ADC vuông tại A nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 2\alpha + \alpha = 90^\circ \)

, suy ra \(\alpha = 30^\circ \), \(\widehat D = 60^\circ \).

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho\(DM = AD\), mà \(\widehat D = 60^\circ \) thì \(\Delta AMD\)là tam giác đều, nên \(\widehat {MAD} = 60^\circ \).

Khi đó \(\widehat {MAC} = \widehat {CAD} - \widehat {MAD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {CAM} = 30^\circ \) nên tam giác MAC cân tại M

Do đó \(AM = MC\), mà \(AM = DM = AD\)

Nên \(AM = DM = AD = MC\) hay \(DC = 2AD.\)

Vậy \(AB = BC = AD,DC = 2AD\) nên chu vi hình thang bằng

\(AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10cm\).