Bài 9.27 trang 103 Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k...

Đề bài :

Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Gọi A’H’ và AH lần lượt là các đường cao đỉnh A’ và A của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{A’H’}}{{AH}} = k\)

b) Diện tích tam giác A’B’C’ bằng \(k^2\) lần diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải :

a) Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC

=> \(\widehat B = \widehat {B’};\frac{{A’H’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k\)

Chứng minh ΔA′H′B′ ∽ ΔAHB suy ra các hệ số tỉ lệ và chứng minh được \(\frac{{A’H’}}{{AH}} = k\)

b) Tính diện tích tam giác ABC và A”B”C” từ đó sẽ xét tỉ số diện tích của hai tam giác đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC

=> \(\widehat B = \widehat {B’};\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k\)

Xét hai tam giác vuông A’H’B’ (vuông tại H’) và tam giác vuông AHB (vuông tại H), có:

\(\widehat B = \widehat {B’}\)

=> ΔA′H′B′ ∽ ΔAHB

=> \(\frac{{A’H’}}{{AH}} = \frac{{A’B’}}{{AB}}\)

Mà \(\frac{{A’B’}}{{AB}} = k\)

=> \(\frac{{A’H’}}{{AH}} = k\)

b) Có diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}\)AH.BC

Có diện tích tam giác A’B’C’ là: \(\frac{1}{2}\)A′H′.B′C′

Xét tỉ lệ giữa hai tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

\(\frac{{\frac{1}{2}A’H’.B’C’}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{{A’H’}}{{AH}}.\frac{{B’C’}}{{BC}} = k.k = {k^2}\)