Bài 3.45 trang 75 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME và từ M xuống AB. (H.3.60)

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật

b) BK và NE cùng bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và AB (dù M thay đổi trên đường thẳng MC miễn là B nằm giữa M và C)

Hướng dẫn giải :

a) Tứ giác BKEN có ba góc bằng 90^o

b) Chứng minh ΔMBD = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MD = MN

Lại có: BK = NE = ME – MN suy ra BK = NE = ME − MD.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tứ giác BKEN có: \(\widehat {BKE} = \widehat {KEN} = \widehat {ENB} = {90^o}\)

Suy ra tứ giác BKEN là hình chữ nhật

b) D là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB

Ta có BN // AC (do BKNE là hình chữ nhật) suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {BCA}\)(hai góc đồng vị)

\(\widehat {MB{\rm{D}}} = \widehat {ABC}\)(đối đỉnh)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {BCA}\)(tam giác ABC cân tại A) suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MB{\rm{D}}}\)

Xét tam giác vuông MBD và MBN ta có:

AB chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {BCA}\)

Suy ra ΔMBD = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MD = MN

Lại có: BK = NE = ME – MN suy ra BK = NE = ME − MD