Bài 4.34 trang 65 SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng...

Đề bài :

Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng \(BN = CM;BN \bot CM.\)

Phương pháp giải :

-Chứng minh \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {c - g - c} \right)\)

-Gọi E là giao điểm của BN và CM.

-Chứng minh \(\widehat {BEM} = \widehat {NAB} = {90^0}\). 

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta ANB\) có:

\(BC = AB\\BM = AN\\\widehat B = \widehat A = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BMC = \Delta ANB\left( {c - g - c} \right)\)

\(\Rightarrow MC = NB\) (2 cạnh tương ứng)

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Vì \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {cmt} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {CMB} = \widehat {BNA}; \widehat {BCM} = \widehat {ABN}\) (2 góc tương ứng) (1)

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có:

\(\widehat {BEM}+ \widehat {EMB} + \widehat {EBM}=180^0 (2)\\\widehat {NAB}+\widehat {BNA}+\widehat {NBA}=180^0\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow \widehat {BEM} = \widehat {NAB}\)

Mà \(\widehat {NAB} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \widehat {BEM} = {90^0}\\ \Rightarrow BN \bot CM\)