Bài 9.9 trang 50 SBT Toán 7 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tuỳ ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tuỳ ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là một số không đổi

Phương pháp giải :

- Xét khi M trùng B, C và khi M khác B, C

- Kẻ \(MP \bot AC;MQ \bot AB\)

-Chứng minh: \(\Delta RBM\) cân tại R

-Chứng minh: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.

Lời giải chi tiết :

TH1:Khi M trùng với B hay C thì tổng khoảng cách đó là BI hoặc CK

Theo bài 9.8: BI = CK

TH2: Khi M khác B, khác C

Kẻ \(MP \bot AC;MQ \bot AB\)

\( \Rightarrow \)Tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là: MQ + MP

Qua M kẻ \(MR // AC\); MR cắt BI tại S.

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat {RMB}\) (2 góc đồng vị)

Mà \(\widehat C = \widehat B\)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {RMB}\)

\( \Rightarrow \Delta RBM\) cân tại R

MQ là khoảng cách từ M đến RB, BS là khoảng cách từ B đến RM

Theo bài 9.8: MQ = BS

Ta có: MR // AC, MP và SI có độ dài là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó nên MP = SI

Suy ra: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.