Lý thuyết bài tập cuối chương I: Tập hợp Định nghĩa Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống...

1. Tập hợp

a) Định nghĩa

Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.

b) Cách viết tập hợp

+ Tên tập hợp thường được viết bằng các chữ cái in hoa : A ; B ; C ;...

+ Để viết tập hợp thường có hai cách :

- Liệt kê các phần tử của tập hợp:

Các phần tử của tập hợp được viết trong dấu ngoặc nhọn { }, cách nhau bởi dấu “;”. Mỗi phần tử được liệt kê một lần , thứ tự liệt kê tùy ý.

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

c) Kí hiệu:

+) \(3 \in A\) đọc là \(3\) thuộc A hoặc \(3\) là phần tử của A.

+) \(7 \notin A\) đọc là \(7\) không thuộc A hoặc \(7\) không là phần tử của A.

2. Tập hợp các số tự nhiên

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $N$ , tập hợp các số tự nhiên khác \(0\) kí hiệu là \({N^*}\) .

Ta có

$N = \left\{ {0;1;2;3;4;......} \right\}$

${N^*} = \left\{ {1;2;3;4;......} \right\}$

Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn.

3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

a) So sánh hai số tự nhiên

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia, ta viết \(a < b\) hoặc \(b > a.\)

Ngoài ra ta cũng viết \(a \ge b\) để chỉ \(a > b\) hoặc \(a = b.\)

+ Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c.\)

+ Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị. Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất và một số liền trước duy nhất.

+ Số 0 là số tự nhiên bé nhất

b) Ghi số tự nhên

Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số là \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.\)

Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị của một hàng thì làm thành đơn vị của hàng liền trước đó.

Ví dụ: \(\overline {abc} = a.100 + b.10 + c\) với \(a \ne 0.\)

Ngoài cách ghi số tự nhiên như trên ta còn sử dụng cách ghi số La Mã.

Trong hệ La Mã, để ghi số tự nhiên người ta dùng bảy chữ số \(I;V;X;L;C;D;M\) có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là \(1;5;10;50;100;500;1000\). Mỗi chữ số La Mã không viết liền nhau quá ba lần nên sáu số đặc biệt (trong các số này, chữ số có giá trị nhỏ đứng trước chữ số có giá trị lớn làm giảm giá trị của chữ số có giá trị lớn) là \(IV;IX;XL;XC;XD\) (có giá trị trong hệ thập phân tương ứng là \(4;9;40;90;400;900.\))

4. Các phép toán về số tự nhiên

a) Phép cộng

$a + b = c$

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

b) Phép nhân

$a.b = d$(thừa số) . (thừa số) = (tích)

Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên

c. Phép trừ

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ nếu có số tự nhiên $x$ sao cho $b + x = a$ thì ta có phép trừ

$a - b = x$

(số bị trừ) - (số trừ) = (hiệu)

Chú ý: Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.

d. Phép chia

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ nếu có số tự nhiên $x$ sao cho $b.x = a$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ và ta có phép chia hết $a:b = x$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Tổng quát:

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ ta luôn tìm được hai số tự nhiên $q$ và $r$ duy nhất sao cho:

$a = b.q + r$ trong đó $0 \le r < b$

(số bị chia) = (số chia) . (thương) + (số dư)

Nếu $r = 0$ thì ta có phép chia hết.

Nếu $r \ne 0$ thì ta có phép chia có dư.

Chú ý:

Tính chất phân phối của phép chia với phép trừ

\(ab - ac = a\left( {b - c} \right)\)

5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

a. Định nghĩa

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$ thừa số $a$ ) ($n$ khác $0$ )

$a$ được gọi là cơ số.

$n$ được gọi là số mũ.

${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );

${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$ )

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$

b. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

c. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

d. Mở rộng

+) Lũy thừa của lũy thừa

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

+) Lũy thừa của một tích

\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)

6. Thứ tự thực hiện phép tính

a. Đối với biểu thức không có dấu ngoặc

+ Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+ Nếu phép tính có cả cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.

Lũy thừa \( \to \) nhân và chia \( \to \) cộng và trừ.

b. Đối với biểu thức có dấu ngoặc.

Nếu biểu thức có các dấu ngoặc : ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính theo thứ tự : \(\left( {} \right) \to \left[ {} \right] \to \left\{ {} \right\}\)