Cho a,b,c là các số thực dương thảo mãn  4a + 9b + 16c = 49 .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}$ + $\frac{25}{b}$ + $\frac{64}{c}$ $\geq$ 49

giải bằng bất đảng thức Bu-nhia-cốp-xki.

`ttcolor{pink}{#MnhNgoc}`

`[((x_1)/(\sqrt{a_1}))^2+((x_2)/(\sqrt{a_2}))^2+((x_3)/(\sqrt{a_3}))^2][(\sqrt{a_1})^2 +(\sqrt{a_2})^2 +(\sqrt{a_3})^2]>=((x_1)/(\sqrt{a_1}) + (x_2)/(\sqrt{a_2})+(x_3)/(\sqrt{a_3}))^2` (Bunhiacopxki)

`<=>((x_1^2)/(a_1)+(x_2^2)/(a_2)+(x_3^2)/(a_3))(a_1+a_2+a_3)>=(x_1+x_2+x_3)^2`

`<=>((x_1^2)/(a_1)+(x_2^2)/(a_2)+((x_3^2)/(a_3) >= ((x_1+x_2+x_3)^2)/(a_1+a_2+a_3)`

Chứng minh:

`1/a+25/b+64/c=(2^2)/(4a)+(15^2)/(9a)+(32^2)/(16c)``>= ((2+15+32)^2)/(4a+9a+16c)=(49^2)/49=49`

Dấu "=" xảy ra `<=>(a;b;c)=(1/2;5/3;2)`

Ta có :

`VT = 1/a + 25/b +64/c = 4/(4a) + 225/(9b) + 1024/(16c) = (2^2)/(4a) + (25^2)/(9b) +(32^2)/(16c)`

Áp dụng bđt Bunhia dạng cộng mẫu ( có thể chứng minh lại bằng biến đổi tương đương), ta có :

`VT = (2^2)/(4a) + (25^2)/(9b) +(32^2)/(16c) >= (2+25+32)^2/(4a+9b+16c) = (49^2)/49 = 49` ( do `4a+9b+16c=49`)

`=> ĐPCM`

Dấu `=` xảy ra khi : `a=1/2 , b=5/3 , c=2`

@UCKSWT