Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a² + b² + 16c² = 9k² + 1

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a^2 + b^2 + 16c^2 = 9k^2 + 1`

`=> a^2 + b^2 + c^2 - 1 = 9k^2 - 15c^2`

`Do  9k^2 - 15c^2  \vdots  3`

`=> a^2 + b^2 + c^2 - 1  \vdots  3`

số chính phương chia `3` dư `1 ; 0 =>` xảy ra `1` trong `3` Th sau:

`+` TH `1: a^2 ; b^2  \vdots  3 ; c^2` không chia hết cho `3`

` mà  a ; b` là số nguyên tố `=> a = b = 3`

khi đó: `3^2 + 3^2 + 16c^2 = 9k^2 + 1`

`<=> 17 = 9k^2 - 16c^2`

`=> 17 = ( 3k - 4c )( 3k + 4c )`

`Do  k ; c in N`* `=> 3k + 4c > 3k - 4c`

`=> {(3k + 4c = 17),(3k - 4c = 1):}`

`=> {(8c = 16),(6k = 18):}`

`=> {(c = 2),(k = 3):}` ( TM )

`+` TH `2:  a^2 ; c^2  \vdots  3; b^2` không chia hết cho `3`

` mà  a ; c` nguyên tố `=> a = c = 3`

khi đó: `3^2 + b^2 + 16 . 3^2 = 9k^2 + 1`

`=> 9k^2 - b^2 = 152`

`=> ( 3k - b )( 3k + b ) = 152`

`Do  k ; b  in  N`* `=> 3k + b > 3k - b > 0`

Xảy ra các TH sau:

`-` TH `1:  {(3k - b = 1),(3k + b = 152):} => {(b = 151/2),(3k - b = 1):}` ( vô lý )

`-` TH `2:  {(3k - b = 2),(3k + b = 76):} => {(b = 37),(k = 13):}` ( TM )

`-` TH `3:  {(3k - b = 4),(3k + b = 38):} => {(b = 17),(k = 7):}` ( TM )

`-` TH `4:  {(3k - b = 8),(3k + b = 19):} => {(b = 11/2),(3k - b = 8):}` ( vô lý )

TH `3:  b^2 ; c^2  \vdots  3 ; a^2` không chia hết cho `3`

Tương tự TH `2 => ( a ; k ) in { ( 37 ; 13 ) ; ( 17 ; 7 ) }`

` Vậy  ( a ; b ; c ; k) in { ( 3 ; 3 ; 2 ; 3 ) ; ( 3 ; 37 ; 3 ; 13 ) ; ( 3 ; 17 ; 3 ; 7 ) ; ( 37 ; 3 ; 3 ; 13 ) ; ( 17 ; 3 ; 3 ; 7 ) }`