tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n^2 -14n-256 là số chính phương

Do n²-14n-256 là số chính phương nên ta đặt n²-14n-256=a² (a∈N)

⇔n²-14n+49-a²-49-256=0

⇔(n-7)²-a²=305

⇔(n-7+a)(n-7-a)=305

-Do n;a∈N và 305 có thể viết dưới dạng tích của 2 số tự nhiên là 305=305*1=(-305)*(-1)=61*5=(-61)*(-5), ta xét 4 trường hợp:

-TH1:$\left \{ {{n-7+a=305} \atop {n-7-a=1}} \right.$

⇔$\left \{ {{n+a=312} \atop {n-a=8}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=312-a} \atop {312-a-a=8}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=312-a} \atop {-2a=-304}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=312-152=160} \atop {a=152}} \right.$

-TH2:$\left \{ {{n-7+a=-1} \atop {n-7-a=-305}} \right.$

⇔$\left \{ {{n+a=6} \atop {n-a=-298}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=6-a} \atop {6-a-a=-298}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=6-a} \atop {-2a=-304}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=6-152=-146∉N} \atop {a=152}} \right.$

⇒n∈ rỗng

-TH3:$\left \{ {{n-7+a=61} \atop {n-7-a=5}} \right.$

⇔$\left \{ {{n+a=68} \atop {n-a=12}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=68-a} \atop {68-a-a=12}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=68-a} \atop {-2a=-56}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=68-28=40} \atop {a=28}} \right.$

-TH4:$\left \{ {{n-7+a=-5} \atop {n-7-a=-61}} \right.$

⇔$\left \{ {{n+a=2} \atop {n-a=-54}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=2-a} \atop {2-a-a=-54}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=2-a} \atop {-2a=-56}} \right.$

⇔$\left \{ {{n=2-28=-26∉N} \atop {a=28}} \right.$

⇒x∈ rỗng

Vậy n∈{40;160} thì n²-14n-256 là số chính phương