chứng minh 

$sin^{4}$a (3-$sin^{2}$a)+ $cos^{4}$a (3-2$cos^{2}$)

không phụ thuộc vào a

Đáp án:[ E = (3x^4 - x^5) + (2 - 8x + 12x^2 - 8x^3 + 2x^4) + (-2x + 8x^2 - 12x^3 + 8x^4 - 2x^5) ]

Giải thích các bước giải:

Bước 1: Phân tích biểu thức

Trước tiên, ta viết lại biểu thức:

[ E = \sin^4 a (3 - \sin^2 a) + \cos^4 a (3 - 2\cos^2 a) ]

Bước 2: Thay đổi một phần của biểu thức

Sử dụng định nghĩa (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), ta có thể thay thế (\sin^2 a) và (\cos^2 a) bằng (x) với (x = \sin^2 a) và (1 - x = \cos^2 a):

[ E = x^4 (3 - x) + (1 - x)^4 (3 - 2(1 - x)) ]

Bước 3: Đơn giản hóa từng phần

Bây giờ, chúng ta tính từng phần của biểu thức (E):

1. Tính phần đầu tiên: [ x^4 (3 - x) = 3x^4 - x^5 ]

2. Tính phần thứ hai: [ (1 - x)^4 (3 - 2(1 - x)) = (1 - x)^4 (2 - 2x) = 2(1 - x)^4 - 2x(1 - x)^4 ]

Bước 4: Mở rộng biểu thức

Mở rộng ((1 - x)^4) bằng công thức nhị thức:

[ (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 ]

Dẫn đến:

[ 2(1 - x)^4 = 2 - 8x + 12x^2 - 8x^3 + 2x^4 ] và [ -2x(1 - x)^4 = -2x + 8x^2 - 12x^3 + 8x^4 - 2x^5 ]

Bước 5: Tổng hợp lại

Kết hợp lại và rút gọn:

[ E = (3x^4 - x^5) + (2 - 8x + 12x^2 - 8x^3 + 2x^4) + (-2x + 8x^2 - 12x^3 + 8x^4 - 2x^5) ]