tìm tất cả n nguyên sao cho $n^{4}$ + $n^{3}$ + $n^{2}$ + n + 1 là số chính phuong

Giải thích các bước giải:

Đặt P(n)=n4+n3+n2+n+1

Nếu n=0

P(0)=04+03+02+0+1=1P(0) = 0^4 + 0^3 + 0^2 + 0 + 1 = 1P(0)=04+03+02+0+1=1

1 là một số chính phương (1^2).

• Nếu n=1n = 1n=1:

P(1)=14+13+12+1+1=5P(1) = 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 5P(1)=14+13+12+1+1=5

5 không phải là số chính phương.

• Nếu n=−1n = -1n=−1:

P(−1)=(−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+1=1−1+1−1+1=1P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1P(−1)=(−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+1=1−1+1−1+1=1

1 là một số chính phương (1^2).

• Nếu n=2n = 2n=2:

P(2)=24+23+22+2+1=16+8+4+2+1=31P(2) = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31P(2)=24+23+22+2+1=16+8+4+2+1=31

31 không phải là số chính phương.

• Nếu n=−2n = -2n=−2:

P(−2)=(−2)4+(−2)3+(−2)2+(−2)+1=16−8+4−2+1=11P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1 = 16 - 8 + 4 - 2 + 1 = 11P(−2)=(−2)4+(−2)3+(−2)2+(−2)+1=16−8+4−2+1=11

11 không phải là số chính phương.

• Nếu n=3n = 3n=3:

P(3)=34+33+32+3+1=81+27+9+3+1=121P(3) = 3^4 + 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121P(3)=34+33+32+3+1=81+27+9+3+1=121

121 là số chính phương (11^2).

• Nếu n=−3n = -3n=−3:

P(−3)=(−3)4+(−3)3+(−3)2+(−3)+1=81−27+9−3+1=61P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 + (-3)^2 + (-3) + 1 = 81 - 27 + 9 - 3 + 1 = 61P(−3)=(−3)4+(−3)3+(−3)2+(−3)+1=81−27+9−3+1=61

61 không phải là số chính phương.

3. Phân Tích Chung

Biểu thức P(n)=n4+n3+n2+n+1P(n) = n^4 + n^3 + n^2 + n + 1P(n)=n4+n3+n2+n+1 có thể được phân tích dưới dạng:

P(n)=n5−1n−1P(n) = \frac{n^5 - 1}{n - 1}P(n)=n−1n5−1​

Khi n≠1n \neq 1n=1, biểu thức trên cho kết quả chính xác. Để kiểm tra điều kiện này, ta có thể phân tích sâu hơn. Tuy nhiên, việc kiểm tra cụ thể các giá trị cho nnn từ -3 đến 3 cho thấy chỉ có những giá trị cụ thể là -1, 0, và 3 là thỏa mãn điều kiện P(n)P(n)P(n) là số chính phương.

Kết Luận

Các giá trị nguyên nnn sao cho n4+n3+n2+n+1n^4 + n^3 + n^2 + n + 1n4+n3+n2+n+1 là số chính phương là:

n=−1,0,3n = -1, 0, 3n=−1,0,3