cho tam giác ABC vuông tại A ; vẽ đường cao AK ; trên tia đối của AK lấy E sao cho K là trung điểm của AE

a; CM tam giác BAE cân 
b; CM tam giác BEC cân
c; gọi M là trung điểm của AB và Q là hình chiếu của điểm K trên cạnh EC

      CM 3 điểm M;K;Q thẳng hàng

a) Xét `ΔBKA` và `ΔBKE` có:

$\widehat{BKA}$`=`$\widehat{BKE}$`=`$90^o$

`AK=KE` ( gt )

`BK` là cạnh chung

`=>``ΔBKA=ΔBKE` ( c.g.c )

`=>``AB=BE`

Xét `ΔABE` có:

`AB=BE`

`=>``ΔABE` cân tại `B`.

b) Vì `ΔABE` cân tại `B`

`=>`$\widehat{BAK}$`=`$\widehat{BEK}$

Xét `ΔKCA` và `ΔKCE` có:

$\widehat{CKA}$`=`$\widehat{CKE}$`=`$90^o$

`AK=KE` ( gt )

`CK` là cạnh chung

`=>``ΔCKA=ΔCKE` ( c.g.c )

`=>`$\widehat{KAC}$`=`$\widehat{KEC}$

Lại có: $\widehat{KAC}$`+`$\widehat{BAK}$`=`$90^o$

Mà $\widehat{BAK}$`=`$\widehat{BEK}$

`=>`$\widehat{KEC}$`+`$\widehat{BEK}$`=`$90^o$

`=>``ΔBEC` vuông tại `E`.

c) Xét `ΔBKA` vuông tại `K` có:

`MK` là đường trung tuyến

`=>``MK=MB`

Xét `ΔKMB` có:

`MK=MB` ( cmt )

`=>``KMB` cân tại `M`.

`=>`a) Xét `ΔBKA` và `ΔBKE` có:

$\widehat{BKA}$`=`$\widehat{BKE}$`=`$90^o$

`AK=KE` ( gt )

`BK` là cạnh chung

`=>``ΔBKA=ΔBKE` ( c.g.c )

`=>``AB=BE`

Xét `ΔABE` có:

`AB=BE`

`=>``ΔABE` cân tại `B`.

b) Vì `ΔABE` cân tại `B`

`=>`$\widehat{BAK}$`=`$\widehat{BEK}$

Xét `ΔKCA` và `ΔKCE` có:

$\widehat{CKA}$`=`$\widehat{CKE}$`=`$90^o$

`AK=KE` ( gt )

`CK` là cạnh chung

`=>``ΔCKA=ΔCKE` ( c.g.c )

`=>`$\widehat{KAC}$`=`$\widehat{KEC}$

Lại có: $\widehat{KAC}$`+`$\widehat{BAK}$`=`$90^o$

Mà $\widehat{BAK}$`=`$\widehat{BEK}$

`=>`$\widehat{KEC}$`+`$\widehat{BEK}$`=`$90^o$

`=>``ΔBEC` vuông tại `E`.

c) Xét `ΔBAK` vuông tại `K` có:

`KM` là đường trung tuyến

`=>``KM=MB`

Xét `ΔKMB` có:

`KM=MB` ( cmt )

`=>``ΔKMB` cân tại `K`

`=>`$\widehat{MBK}$`=`$\widehat{BKM}$

Xét `ΔABE` cân tại `B` có:

`BK` là đường cao

`=>``BK` cũng là đường phân giác

`=>`$\widehat{ABK}$`=`$\widehat{KBE}$

Mà $\widehat{MBK}$`=`$\widehat{BKM}$

`=>`$\widehat{BKM}$`=`$\widehat{KBE}$

Mà `2` góc ở  vị trí đồng vị

`=>``BE`║`MK`         `(1)`

Ta có: `KQ⊥EC`

Mà `BE⊥EC`

`=>``KQ`║`BE`         `(2)`

Từ `(1)` và `(2)``=>``M,K,Q` thẳng hàng,

$#chithanh17062010$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$BA^2=AK^2+KB^2=KE^2+BK^2=BE^2$

$\to BA=BE$

$\to \Delta ABE$ cân tại $B$

b.Ta có:

$AC^2=AK^2+KC^2=EK^2+KC^2=CE^2$

$\to AC=CE$

$\to \Delta BEC$ cân tại $C$

c.Ta có: $\Delta CAE$ cân tại $C$

$\to \widehat{CAK}=\widehat{CEK}$

Vì $\Delta AKB$ vuông tại $K, M$ là trung điểm $AB$

$\to MK=MA=MB=\dfrac12AB$

$\to \Delta MAK$ cân tại $M$

Ta có: $KQ\perp CE$

$\to \widehat{EKQ}=90^o-\widehat{KEQ}=90^o-\widehat{KEC}=90^o-\widehat{KAC}=\widehat{KAM}=\widehat{AKM}$

$\to M, K, Q$ thẳng hàng