Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đường cao AH. Kẻ BE vuông góc vói trung tuyến AM tại E, BE cắt AH ở D, cắt AC ở F
a) Chứng minh BE.BF = BH.BC

b) Chứng minh D là trung điểm của BF

c) Cho BC = 20, AH = 9,6. Tính DE, AF

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABF$ vuông tại $A, AE\perp BF\to BE.BF=BA^2$

               $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC\to BH.BC=BA^2$

$\to BE.BF=BH.BC$

b.Ta có: $BE\perp AM, AH\perp MB, BE\cap AH=D$

$\to D$ là trực tâm $\Delta ABM$

$\to MD\perp AB$

$\to MD//AC\to MD//CF$

Mà $M$ là trung điểm $BC\to D$ là trung điểm $BF$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AB^2+AC^2=BC^2=400$

      $AB.AC=AH.BC=192$

$\to (AB+AC)^2=AB^2+AC^2+2AB.AC=784$

$\to AB+AC=28$

$\to AB=28-AC$

$\to (28-AC)AC=AB.AC=192$

$\to AB=12, AC=16$ vì $AB<AC$

Vì $F$ là trung điểm $AC\to FA=FC=\dfrac12AC=8$

      $BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=4\sqrt{13}$

      $D$ là trung điểm $BF\to DB=DF=\dfrac12BF=2\sqrt{13}$

       $BE.BF=BA^2\to BE=\dfrac{BA^2}{BF}=\dfrac{36}{\sqrt{13}}$

       $DE=BE-BD=\dfrac{36}{\sqrt{13}}-2\sqrt{13}=\dfrac{10}{\sqrt{13}}$