cho tam giác abc cân tại a,trên ab lấy d, ac lấy e sao cho bd = ce.o là giao điểm be và cd

a,chứng minh be =cd

b,tam giác ode cân

c,de song song bc

d, ao là trung trực bc

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a/ Xét ΔABC cân tại A có:

∠ABC = ∠ACB, AB = AC

Xét ΔBDC và ΔCEB có:

∠DBC = ∠BEC (cmt)

BD=EC (gt)

BC chung

⇒ΔBDC = ΔCEB (c-g-c)

⇒BE=CD (2 cạnh tương ứng)

b/ Xét ΔDBE và ΔECD có:

BD=EC (gt)

BE=DC (cmt)

DE chung

⇒ΔDBE = ΔECD (c-c-c)

⇒∠BDE = ∠CED (2 góc tương ứng)

⇒ΔODE cân tại O

c/ Theo câu a ta có ΔBDC = ΔCEB

⇒∠BDO = ∠CEO (2 góc tương ứng)

Xét ΔODB và ΔOEC có:

∠BDO = ∠CEO (cmt)

∠DOB = ∠EOC (2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔODB ~ ΔOEC (g-g)

$\frac{OD}{OE}$ = $\frac{OB}{OC}$

⇒$\frac{OD}{OB}$ = $\frac{OE}{OC}$ 

Xét ΔOBC ta có: $\frac{OD}{OB}$ = $\frac{OE}{OC}$ 

⇒ DE // BC (đpcm)

d/ Ta có:∠BDO + ∠CDA =$180^{o}$ 

              ∠CEO + ∠OEA =$180^{o}$ 

Mà ∠BDO = ∠CEO (cmt)

⇒ ∠CDA = ∠OEA

Ta có: AD + BD = AB

           AE + EC = AC

Mà AB = AC, BD = EC (cmt)

⇒ AD = AE

Xét ΔADO và ΔAEO có:

AD = AE (cmt)

∠CDA = ∠OEA (cmt)

OD = OE (cmt)

⇒ΔADO = ΔAEO (c-g-c)

⇒ ∠ADO = ∠AEO (2 góc tương ứng)

Mà ΔABC cân tại A

⇒ AO là trung trực BC

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) +) Vì `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`⇒\hat{ABC}=\hat{ACB}` (tc)

+) Xét `ΔBEC` và `ΔCDB` có:

`\hat{ABC}=\hat{ACB}` (cmt)

`BC` chung

`BD=EC` (gt)

`⇒ΔBEC=ΔCDB` (c.g.c)

`⇒BE=CD` (hai cạnh tương ứng) (dpcm)

`⇒\hat{BDC}=\hat{CEB}` (hai góc tương ứng)

$\\$

b) +) Xét `ΔBOD` và `ΔCOE` có:

`\hat{BDC}=\hat{CEB}` (cmt)

`\hat{O_1}=\hat{O_2}` (hai góc đối nhau)

mà `\hat{BDC}+\hat{O_1}+\hat{DBE}=180^o` (tổng ba góc trong `Δ`)

       `\hat{CEB}+\hat{O_2}+\hat{ECD}=180^o` (tổng ba góc trong `Δ`)

`⇒\hat{DBE}=\hat{ECD}`

`BD=EC` (gt)

`⇒ΔBOD=ΔCOE` (g.c.g) 

`⇒OD=OE` (hai cạnh tương ứng)

`⇒ΔODE` cân tại `O` (tc) (dpcm)

`⇒\hat{ODE}=\hat{OED}=(180^o-\hat{DOE})/2` (hai góc tương ứng)

$\\$

c) +) Ta có `OD=OE` (cmt) và `CD=BE` (cmt)

`⇒OB=OC` 

`⇒ΔOBC` cân tại `O` (tc)

`⇒\hat{OBC}=\hat{OCB}=(180^o-\hat{BOC})/2` (hai góc tương ứng)

lại có `\hat{ODE}=\hat{OED}=(180^o-\hat{DOE})/2` (cmt)

mà `\hat{BOC}=\hat{DOE}` (hai góc đối nhau)

`⇒\hat{EDO} = \hat{OCB}` 

mà hai góc này ở vị trí so le trong

`⇒DE` // `BC` (dpcm)

$\\$

d) +) Gọi `F` là giao điểm của `AO` và `BC`

+) Xét `ΔADO` và `ΔAEO` có:

`AO` chung

`BD=AE` (gt) mà `AB=AC` (`ΔABC` cân tại `A`)

`⇒AD=AE`

`OD=OE` (cmt)

`⇒ΔADO=ΔAEO` (c.c.c)

`⇒\hat{A_1}=\hat{A_2}` (hai góc tương ứng)

+) Xét `ΔAFB` và `ΔAFC` có:

`AB=AC` (gt)

`AF` chung

`\hat{A_1}=\hat{A_2}` (cmt)

`⇒ΔAFB=ΔAFC` (c.g.c)

`⇒BF=FC` (hai cạnh tương ứng) $(*)$

`⇒\hat{AFB}=\hat{AFC}` (hai góc tương ứng)

mà hai góc này kề bù

`⇒\hat{AFB}=\hat{AFC}=180^o/2=90^o` 

hay `AF⊥BC` $(**)$

+) Từ $(*)$ và $(**)$

`⇒AO` là trung trực của `BC` (dpcm)