Cho tứ giác ABCD không có cặp cạnh đối song song. Lấy M,N,P,Q,R,S là trung điểm AB,BC,CD,DA,AC,BD. CMR: MNPQ,MRPS,NRQS là hình bình hành.

Cho ngũ giác ABCDE có M,N,P,Q,I,J là trung điểm AB,BC,CD,DE,MP,NQ. Biết AE = 8cm, tính IJ

`1,`

`@` MN là đường trung bình của ΔABC.

`+)` M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

`+)` Suy ra MN // AC và MN = 1/2 AC.

`@` PQ là đường trung bình của ΔADC.

`+)` P, Q lần lượt là trung điểm của CD, DA.

`+)` Suy ra PQ // AC và PQ = 1/2 AC.

`@` Từ hai kết quả trên, ta có:

`+)` MN // PQ (cùng // AC)

`+)` MN = PQ (= 1/2 AC)

`=>` Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

`@` MR là đường trung bình của ΔABD.

`+)` M, R lần lượt là trung điểm của AB, BD.

`+)` Suy ra MR // AD và MR = 1/2 AD.

`@` PS là đường trung bình của ΔBCD.

`+)` P, S lần lượt là trung điểm của CD, BD.

`+)` Suy ra PS // AD và PS = 1/2 AD.

`@` Từ hai kết quả trên, ta có:

`+)` MR // PS (cùng // AD)

`+)` MR = PS (= 1/2 AD)

`=>` Vậy tứ giác MRPS là hình bình hành.

`@` NR là đường trung bình của ΔABC.

`+)` N, R lần lượt là trung điểm của BC, BD.

`+)` Suy ra NR // AC và NR = 1/2 AC.

`@` QS là đường trung bình của ΔACD.

`+)` Q, S lần lượt là trung điểm của DA, BD.

`+)` Suy ra QS // AC và QS = 1/2 AC.

`@` Từ hai kết quả trên, ta có:

`+)` NR // QS (cùng // AC)

`+)` NR = QS (= 1/2 AC)

`=>` Vậy tứ giác NRQS là hình bình hành.

`2,`

`@` Hình thang MNPQ:

`+)` MN // PQ (vì cùng song song với DE)

`+)` MP // NQ (vì cùng song song với AB)

`=>` MNPQ là hình bình hành.

`@` Đường trung bình IJ:

`+)` IJ là đường trung bình của hình bình hành MNPQ.

`+)` Theo tính chất đường trung bình của hình bình hành, ta có:

IJ // MN và IJ = 1/2 MN.

`@` Mối quan hệ giữa MN và AE:

`+)` MN là đường trung bình của tam giác ADE.

`=>` MN = 1/2 AE.

`@` Ta có:

`+)` IJ = 1/2 MN

`+)` MN = 1/2 AE

`=>` IJ = 1/2 . (1/2 AE) = 1/4 AE

`@` Mà AE = 8cm, suy ra:

IJ = 1/4 . 8cm = 2cm

Vậy độ dài đoạn IJ là 2cm.