Ví dụ `38(3).` Chứng minh rằng

`A=n^{3}(n^{2}-7)^{2}-36n` chia hết cho `5040` với mọi số tự nhiên `n`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Ví dụ `38(3).`

Giải: Phân tích ra thừa số: `5040=2^(4).3^(2).5.7.`

Phân tích `A=n^3(n^2-7)^2-36n`

                  `=n[n^2(n^2-7)^2-36]=n[(n^3-7n)^2-6^2]`

                  `=n(n^3-7n-6)(n^3-7n+6).`

Ta lại có:      `n^3-7n-6=(n+1)(n+2)(n-3),`

                    `n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3).`

Do đó:    `A=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3).`

Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp :

`-` Tồn tại một bội số của `5 (` nên `A` chia hết cho `5);`

`-` Tồn tại một bội số của `7 (` nên `A` chia hết cho `7);`

`-` Tồn tại một bội số của `3 (` nên `A` chia hết cho `9);`

`-` Tồn tại ba bội số của `2,` trong đó có một bội số của `4 (` nên `A` chia hết cho `16).`

`A` chia hết cho các số `5,7,9,16` đôi một nguyên tố cùng nhau nên `A` chia hết cho `5.7.9.16=5040.`

$#Zonzon123#$