Tìm hai số nguyên tố p và q biết:p^2-q^2+p-3q-2=0

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`p^2 - q^2 + p - 3q - 2 = 0`

`=> ( p - q )( p + q ) + p - q = 2 + 2q`

`=> ( p - q )( p + q + 1 ) = 2( q + 1 )`

`Do  q ; p` nguyên tố `=> p ; q >= 2`

`+` Xét `p = q = 2` ( vô lí )

`+` Xét `p = 2 ; q >= 2` ta có:

`=> p - q < 0 => ( p - q )( p + q + 1 ) < 0 =>` vô lí 

`+` Xét `q = 2 ; p > 2 => p - q > 0` ta có:

`( p - 2 )( p + 3 ) = 2 . 3`

`=> p^2 + p - 12 = 0`

`=> ( p + 4 )( p - 3 ) = 0`

`=> p = 3  hoặc   p = -4` 

Thử lại `p = 3` thỏa mãn

`+` Xét `p ; q` cùng lẻ

`=> q + 1` chẵn `=> p - q = 2( q + 1 )  và  q + p + 1 = 1`

`=> p - q = 2q + 2  và  p + q = 0` ( vô lí )

` Vậy  ( p ; q ) = ( 3 ; 2 )`

$#nobody$

`p^2 - q^2 + p - 3q - 2 = 0(p ; q \in P)`

`=> (p + q)(p - q) + (p - q) - 2q - 2 = 0`

`<=> (p - q)(p + q + 1) = 2q + 2`

`<=> (p - q)(p + q + 1) = 2(q + 1)`

Có : `2(q + 1) >= 2.(2 + 1) = 6 => (p - q)(p + q + 1) >= 6`

Mà `p + q + 1 >= 2 + 2 + 1 = 5`

`=> p - q >= 6/5`

Hay `p > q`(dễ suy ra)

Vì `2(q + 1)` chẵn `AA q \in P => p - q ; p + q + 1` cùng chẵn hoặc `1` trong 2` số chẵn

`+) p - q` chẵn và `p + q + 1` chẵn

Lại có:

`1 \equiv 1(mod 2) => p + q` lẻ

`=> p ; q` khác tính chẵn lẻ `(1)`

Lại có : `p - q` chẵn `=> p ; q` cùng tính chẵn lẻ `(2)`

Từ `(1) ; (2) => L`

`+) p - q` lẻ và `p + q + 1`chẵn

Vì `p - q` lẻ `=> p ; q` khác tính chẵn lẻ

`=> p = 2` hoặc `q = 2`

`+) p = 2` mà `q` lẻ `=> ktm`

`+) q = 2 => p^2 - 2^2 + p - 3.2 - 2 = 0`

`<=> p^2 + p - 12 = 0`

`<=> (p - 3)(p + 4) = 0`

`<=> p - 3 = 0` hoặc `p + 4 = 0`

`<=> p = 3(tm)` hoặc `p = - 4(ktm)`

`+) p - q` chẵn và `p + q + 1` lẻ

Vì `p - q` chẵn `=> p ; q` cùng tính chẵn lẻ

Xét : `p ; q` cùng chẵn `=> p = q = 2 => ktm`

`=> p ; q` cùng lẻ

`=> q + 1` chẵn `=> {(p - q = 2(q + 1)),(p + q + 1 = 1):}`

`<=> {(p - q = 2(q + 1)),(p + q = 0(L)):}`

`=> (p ; q) = (3 ; 2)`