Cho 2 số chính phương liên tiếp. CMR: tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ.

-em nqu chua?

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: `a^2 ;(a+1)^2` `(a\inNN)`

Ta có: `a^2 +(a+1)^2 +a^2 (a+1)^2`

`=a^2 +a^2 +2a+1+a^2 (a^2 +2a+1)`

`=a^2 +a^2 +2a+1+a^4 +2a^3 +a^2`

`=(a^4 +a^3 +a^2)+(a^3 +a^2 +a)+(a^2 +a+1)`

`=a^2 (a^2 +a+1)+a(a^2 +a+1)+(a^2 +a+1)`

`=(a^2 +a+1)(a^2 +a+1)`

`=(a^2 +a+1)^2`

`=[a(a+1)+1]^2`

Vì `a\inNN` nên: `a(a+1)` là tích của `2` số tự nhiên liên tiếp

`=>a(a+1)\vdots2`

`=>a(a+1)+1` là số tự nhiên lẻ

`=>[a(a+1)+1]^2` là một số chính phương lẻ

Vậy ..............

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi hai số thỏa mãn đề bài là `a^2,(a+1)^2(a\inZZ)`

Ta có: `a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2`

`=a^4+2a^3+3a^2+2a+1`

`=(a^2+a+1)^2`

Nếu `a` lẻ thì `a+1` chẵn, tức: `a(a+1)` chẵn, nên `a^2+a+1` lẻ, tức: `(a^2+a+1)^2` là số chính phương lẻ (đpcm)

Nếu `a` chẵn thì `a(a+1)` chẵn, nên `a^2+a+1` lẻ, tức: `(a^2+a+1)^2` là số chính phương lẻ (đpcm)

Vậy ta có điều phải chứng minh