tìm gtln và gtnn của `\sqrt((x-2016)^2)` `+` `\sqrt((2017-x)^2)` và chỉ ra giá trị của x để nó đạt gtln và gtnn

`\sqrt{ ( x - 2016 )^2} + \sqrt{(2017-x)^2}`

`= | x - 2016 | + | 2017 - x |`

Áp dụng BĐT `| a | + | b | >= |a+b|` ta được :

`|x-2016|+|2017-x| >= | x - 2106 + 2017 - x | = |1|=1`

Dấu ''='' `<=> ( x-2016 ) ( 2017-x) >= 0 <=> 2016 <= x <= 2017`

Vậy GTNN của biểu thức là `1` khi và chỉ khi `2016 <= x <= 2017`

_____________

GTLN không tồn tại vì khi `x` càng lớn hoặc càng nhỏ thì biểu thức càng lớn 

Ta có :

`\sqrt{( x-2016 )^2 } + \sqrt {( 2017 -x )^2 }`

`= | x-2016 | + | 2017-x |`

áp dụng bất đẳng thức ` |a| + |b | >= | a +b |` ta có :

`| x-2016 |+ | 2017 -x |>= | x -2016 +2017 -x |`

`<=> | x-2016 | + |2017-x |>= 1`

Dấu `=` xảy ra khi :` (x-2016 )( 2017-x )>=0`

                  `=>2016<=x <=2017`

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là `1` tại `2016 <=x <=2017`