Bài 8: Cho phương trình x^2 + 2(m-2)x + m^2 - 4m = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 3/(x1) + x2= 3/(x2) +x1

`x^2 + 2(m-2)x + m^2 - 4m=0`

Xác định: `a = 1; b= 2(m-2); b' = m-2; c = m^2 - 4m`

`\Delta' = (b')^2 - ac`

`= (m-2)^2 - (m^2 - 4m)`

`= m^2 - 4m +4 - m^2 + 4m`

`= 4 > 0`

`→` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

`x_1 = (-b' + \sqrt(\Delta'))/a = (-(m-2) + \sqrt(4))/1 = (2-m+2)/1 = (4-m)/1 = 4-m`

`x_2 = (-b' - \sqrt(\Delta'))/a = (-(m-2) - \sqrt(4))/1 = (2-m-2)/1 = -m/1 = -m`

`⇒ x_1 - x_2 = 4-m - (-m) = 4-m + m = 4`

    `x_1 . x_2 = (4-m). (-m) = m(m-4) = m^2 - 4m`

Ta có:

`3/(x_1) + x_2 = 3/(x_2) + x_1`

`⇔ 3/(x_1) - 3/(x_2) = x_1 - x_2`

`⇔ (3x_2)/(x_1 . x_2) - (3x_1)/(x_1 . x_2) = x_1 - x_2`

`⇔ (3x_2 - 3x_1)/(x_1 . x_2) = x_1 - x_2`

`⇔ (-3(x_1 - x_2))/(x_1 . x_2) = x_1 - x_2`

`⇔ (-3 . 4)/(m^2 - 4m) = 4 (m\ne 0;4)`

`⇔ (-3)/(m^2 - 4m) = 1`

`⇔ m^2 - 4m = -3`

`⇔ m^2 - 4m + 3 = 0`

`⇔ m^2 - m - 3m + 3 = 0`

`⇔ m(m-1) - 3(m-1) = 0`

`⇔ (m-3)(m-1) = 0`

`⇔ m -3 =0` hoặc `m-1=0`

`⇔ m =3 (TM)` hoặc `m=1 (TM)`

Vậy `m ∈ {1;3}` thoả mãn đề bài

`Delta = [2(m - 2)]^2 - 4.1.(m^2 - 4m)`

`Delta = 4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 + 16m`

`Delta = 4m^2 - 16m + 16 - 4m^2 + 16m`

`Delta = 16 > 0`

   `->` Phương trình có `2` nghiệm phân biệt với mọi `m` 

 Theo `Vi - ét` : `{(x_1 + x_2 = -[2(m -2)]/1),(x_1x_2 = (m^2 - 4m)/1):}`

      `<=>` `{(x_1 + x_2 = -2m + 4   (1)),(x_1x_2 = m^2 - 4m    (3)):}`

Có : `3/(x_1) + x_2 = 3/(x_2) + x_1`

 ĐK : `x_1 ne 0 ; x_2 ne 0` 

  `=>` `x_1x_2 ne 0` 

 `<=>` `m^2 - 4m ne 0`

 `<=>` `m(m - 4) ne 0`

 `<=>` `{(m ne 0),(m ne 4):}`

                   `3/(x_1) + x_2 = 3/(x_2) + x_1`

         `<=>` `3/(x_1) + x_2 - 3/(x_2) - x_1 = 0`

         `<=>` `(3x_2 - 3x_1)/(x_1x_2) + (x_2 -x_1) = 0`

         `<=>` `(3(x_2 - x_1))/(m^2 - 4m) + (x_2 - x_1) = 0`

         `<=>` `(x_2 - x_1)(3/(m^2 - 4m) + 1) = 0`

 `TH1 : x_2 - x_1 = 0    (2)` 

 Từ `(1)` và `(2)` `->` `{(x_1 + x_2 = -2m + 4),(-x_1 + x_2 = 0):}`

        `<=>` `{(2x_2 = 4 - 2m),(-x_1 + x_2 = 0):}`

        `<=>` `{(x_2 = 2 - m),(x_1 = 2 - m):}`

 Thay `x_1 = 2 - m ; x_2 = 2 - m` vào `(3)`

  `->` `(2 - m)(2 - m) = m^2 - 4m`

 `<=>` `4 - 4m + m^2 = m^2 - 4m`

   `<=>` `4 = 0` (VÔ LÍ)

 `TH2 : `3/(m^2 - 4m) + 1 = 0`

     `<=>` `3/(m^2 - 4m) = -1`

     `<=>` `m^2 - 4m = -3`

     `<=>` `m^2 - 4m + 3 = 0`

     `<=>` `m^2 - 3m - m + 3 = 0`

     `<=>` `(m^2 - 3m) - (m - 3) = 0`

     `<=>` `m(m - 3) - (m - 3) = 0`

     `<=>` `(m - 1)(m - 3) = 0`

 `=>` $\left[\begin{matrix} m - 1 = 0\\ m - 3 = 0\end{matrix}\right.$

   `<=>` $\left[\begin{matrix} m = 1 (TM)\\ m = 3 (TM)\end{matrix}\right.$

           Vậy `m in {1 ; 3}` là giá trị cần tìm