Cho hình tam giác ABC cân tại A vẽ các đường cao BH và CK (H thuộc AC,K thuộc AB) chứng minh tứ giác BCHK là hình thang cân

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Vì $BH$ và $CK$ là hai đường cao của $ΔABC$ cân tại $A$

⇒ $BH\parallel{AC}$; $CK\parallel{AB}$

⇒ $ΔBHC$ vuông tại $H$

⇒ $ΔCKB$ vuông tại $K$

Xét $ΔBHC$ và $ΔCKB$ có:

$\widehat{HCB}=\widehat{KBC}$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$BC$ là cạnh chung

⇒ $ΔABH=ΔACK$ (cạnh huyền-góc nhọn) 

⇒ $CH=BK$ (cặp cạnh tương ứng) (1)

Mà $ΔABC$ cân tại $A$

⇒ $AB=AC$ (2)

Từ (1) và (2) 

⇒ $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$ 

⇒ $BC\parallel{HK}$

⇒ $BCHK$ là hình thang

Mà $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (cmt)

⇒ $BCHK$ là hình thang cân

Xét `\DeltaABH` vuông tại `H` và `\DeltaACK` vuông tại `K` có:

           `AB=AC` `(\DeltaABC` cân tại `A)`

           `\hatA:` chung

`=>` `DeltaABH = DeltaACK` `(ch-gn)`

`=>` `AH=AK` `(2` cạnh tương ứng`)`

`=>` `\DeltaAHK` cân tại `A`

`=>` `\hat(AKH) = (180^@ - \hatA)/2`

mà `\hat(ABC) = (180^@ - \hatA)/2` `(\DeltaABC` cân tại `A)`

`=>` `\hat(AKH) = \hat(ABC)`

mà `2` góc này ở vị trí đồng vị

`=>` `KH////BC`

`=>` Tứ giác `BCHK` là hình thang

Lại có: `\hat(ABC) = \hat(ACB)` `(\DeltaABC` cân tại `A)`

`=>` Tứ giác `BCHK` là hình thang cân

`#vu0000`