SOS                                          

Đáp án:

`x in {1;14}`

Giải thích các bước giải:

$\bullet$ Ta có: `x^n + 2^n + 1 | x^(n+1) + 2^(n+1) + 1`

`<=> x^n + 2^n + 1 | x(x^n + 2^n + 1) + 2^(n+1) - 2^nx - x + 1`

`<=> x^n + 2^n + 1 | 2^(n+1) + 1 - 2^nx - x`

Ta thấy `x in {1,2}` không tìm được `n`

$\\$

$\bullet$ Xét `x ge 3` có: `2^(n+1) - 2^nx le 2^n . 2 - 2^n . 3 < 0`

                          `1-x le 1-3 < 0`

`=> 2^(n+1) + 1 - 2^nx - x < 0`

Có: `2^nx - 2^(n+1) + x - 1 = |2^(n+1) + 1 - 2^nx - x| ge x^n + 2^n + 1`

`<=> x(2^n + 1) ge x^n + 2^n + 2^(n+1) + 1`

$\\$

$\bullet$ Với `x,n ge 3` ta nghĩ đến đánh giá sau: `x^n ge x(2^n + 1)` `(1)`

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Với `n=3` ta thấy BĐT `(1)` đúng

Giả sử BĐT `(1)` đúng với `n = k > 3`

Ta sẽ chứng minh `x^(k+1) > x(2^(k+1)+1)` hay `x^k > 2^(k+1)+1`

Thật vậy `x^k > 3^k > 3^k - 2^k . 2 > 1` với `k > 3`

Do đó BĐT `(1)` là đúng với `x,n ge 3`

$\\$

$\bullet$ Do đó: `x(2^n + 1) ge x^n + 2^n + 2^(n+1) + 1` là sai với `n ge 3`

Vậy ta xét `1 le n le 2`

$\\$
`@` $\rm TH_{1}: n = 2$ từ `(1) => (2^2+1)x ge x^2 + 2^(2+1) + 2^2 + 1`

`<=> 5x ge x^2 + 14`

Không tồn tại `x in ZZ^+` trong trường hợp này

$\\$

`@` $\rm TH_{2}: n = 1$ thay vào giả thiết ta có:

`x+3 | x^2 + 5 = (x+3)(x-3) +14`

`<=> x+3 | 14`

Đến đây dễ rồi bạn tự giải