Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R ( R không đổi ). Lấy điểm C trên nửa đường tròn đó ( C không trùng với A,B) kẻ CH vuông góc AB tại H, kẻ HM vuông góc AC tại M, kẻ HN vuông góc BC tại N

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{CMH}=\widehat{CNH}=90^o\to CMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$

b.Từ a $\to \widehat{CMN}=\widehat{CHN}=90^o-\widehat{NHC}=\hat B$

Mà $\widehat{MCN}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta CMN\sim\Delta CBA(c.g.c)$

c.Vì $BA$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ACB}=90^o\to CMHN$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{CMN}=\widehat{MCH}$

Ta có: $\Delta MAH$ vuông tại $M, I$ là trung điểm $AH$

$\to IM=IA=IH=\dfrac12AH$

$\to \Delta IMH$ cân tại $I$

$\to \widehat{IMH}=\widehat{IHM}=90^o-\widehat{MHC}=\widehat{MCH}=\widehat{CMN}$

$\to \widehat{NMI}=\widehat{NMH}+\widehat{HMI}=\widehat{NMH}+\widehat{CMN}=\widehat{CMH}=90^o$

$\to IM\perp MN$

Tương tự $KN\perp MN$

$\to IM//KN$

$\to \dfrac{IP}{PN}=\dfrac{IM}{KN}=\dfrac{HI}{HK}$

$\to PH//KN$

Mà $KN\perp MN$

$\to HP\perp MN$

d.Từ c

$\to MK^2+NI^2=(MN^2+NK^2)+(MN^2+IN^2)=2MN^2+NK^2+IM^2$

$\to MK^2+NI^2=2MN^2+(\dfrac12HA)^2+(\dfrac12HB)^2$

$\to MK^2+NI^2=2HC^2+\dfrac14(HA^2+HB^2)$

$\to MK^2+NI^2=2HA.HB+\dfrac14(HA^2+HB^2)$

$\to MK^2+NI^2=2HA.HB-\dfrac12HA.HB+\dfrac14(HA^2+2HA.HB+HB^2)$

$\to MK^2+NI^2=\dfrac32HA.HB+\dfrac14(HA+HB)^2$

$\to MK^2+NI^2=\dfrac32HA.HB+\dfrac14AB^2$

$\to MK^2+NI^2\le\dfrac32\cdot \dfrac14(HA+HB)^2+\dfrac14AB^2$

$\to MK^2+NI^2\le\dfrac38AB^2+\dfrac14AB^2$

$\to MK^2+NI^2\le\dfrac58AB^2$

Dấu = xảy ra khi $HA=HB\to H$ là trung điểm $AB\to C$ nằm chính giữa cung $AB$