tìm `a;b;c` nguyên tố tm `c = a^b + b^a`

Đáp án:

 `{(2;3;17);(3;2;17)}`

Giải thích các bước giải:

 
Do `a,b` nguyên tố nên `a^b+b^a>=2^2+2^2<=>c>=8`, do đó `c` lẻ

Nếu `a,b` cùng lẻ thì `a^b+b^a` chẵn (loại do `c` lẻ)

Vậy thì `a,b` khác tính chẵn lẻ, tức trong hai số `a,b` tồn tại một số chẵn, mà `a,b` là số nguyên tố nên số chẵn đó là `2` 

Không mất tính tổng quát giả sử số đó là `a` thì:

`2^b+b^2=c`

Nếu `b vdots 3` thì `b=3=>2^b+b^2=2^3+3^2=17` (thỏa mãn)

Nếu `b \equiv 1;-1 (mod 3)` thì `b` lẻ và `b^2 \equiv 1 (mod 3)`

Do đó `2^b+b^2 \equiv (-1)^b+1 \equiv -1+1 \equiv 0(mod 3)`

`<=>c vdots 3` nên `c=3` (loại do `c>=8`)

Vậy `(a;b;c)={(2;3;17);(3;2;17)}  .`

               `tt\color{rgb(0,191,255)}(hungmaturi)`

$#nobody$

`c = a^b + b^a >= 2^2 + 2^2 = 8`

`=> c` lẻ `(c \in P)`

`=> a^b + b^a` lẻ

`=> a ; b` khác tính chẵn lẻ

giả sử `a` chẵn `b` lẻ `=> a = 2`

`+) b = 3 => c = 2^3 + 3^2 = 17 => tm`

`+) b > 3 => b \notvdots 3 => b^2 \equiv 1(mod 3)`

Đặt `b = 2k + 1(k \in NN`*`)`

`=> 2^b = 2^(2k + 1) = 2.4^k \equiv 2(mod 3)`

`=> b^2 + 2^b \equiv 0(mod 3) => L`

tương tự `=> a` lẻ `b` chẵn `=> tt`

`=> (a ; b ; c) = (2 ; 3 ; 17) ; (3 ; 2 ; 17)`