cho hpt:

mx+2y=m+1
2x+my=2m-1

xác định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất(x;y) sao cho là x ; y là các số nguyên

Để xác định giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \((x, y)\) với \( x \) và \( y \) là các số nguyên:

\[
\begin{cases}
mx + 2y = m + 1 \\
2x + my = 2m - 1
\end{cases}
\]

ta thực hiện các bước sau:

### 1. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận

Hệ phương trình có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:

\[
\begin{pmatrix}
m & 2 \\
2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
m + 1 \\
2m - 1
\end{pmatrix}
\]

### 2. Tính định thức của ma trận hệ số

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ma trận hệ số phải có định thức khác 0. Tính định thức của ma trận hệ số:

\[
\text{Det} =
\begin{vmatrix}
m & 2 \\
2 & m
\end{vmatrix}
= m \cdot m - 2 \cdot 2 = m^2 - 4
\]

Ma trận hệ số có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

\[
m^2 - 4 \neq 0
\]

Điều này có nghĩa:

\[
m^2 \neq 4
\]

Do đó:

\[
m \neq \pm 2
\]

### 3. Xác định các giá trị của \( m \) sao cho nghiệm \( (x, y) \) là số nguyên

Giả sử \( m \neq \pm 2 \), ta cần kiểm tra các giá trị của \( m \) sao cho nghiệm \( (x, y) \) là số nguyên. Để làm điều này, giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + 2y = m + 1 \\
2x + my = 2m - 1
\end{cases}
\]

Áp dụng phương pháp loại bỏ để tìm nghiệm. Để đơn giản hóa, nhân phương trình thứ nhất với \( m \) và phương trình thứ hai với \( 2 \), rồi trừ nhau:

\[
m(mx + 2y) - (2 \cdot (2x + my)) = m(m + 1) - 2(2m - 1)
\]

\[
m^2 x + 2my - 4x - 2my = m^2 + m - 4m + 2
\]

\[
(m^2 - 4)x = m^2 - 3m + 2
\]

Vì \( m^2 - 4 \neq 0 \), ta có thể giải:

\[
x = \frac{m^2 - 3m + 2}{m^2 - 4}
\]

Xét điều kiện \( x \) là số nguyên:

- Khi \( m = 0 \), thì \( x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \), không phải là số nguyên.
- Khi \( m = 1 \), thì \( x = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 4} = \frac{0}{-3} = 0 \), là số nguyên.
- Khi \( m = 3 \), thì \( x = \frac{9 - 9 + 2}{9 - 4} = \frac{2}{5} \), không phải là số nguyên.
- Khi \( m = -1 \), thì \( x = \frac{1 + 3 + 2}{1 - 4} = \frac{6}{-3} = -2 \), là số nguyên.
- Khi \( m = -3 \), thì \( x = \frac{9 + 9 + 2}{9 - 4} = \frac{20}{5} = 4 \), là số nguyên.

### Kết luận

Các giá trị nguyên của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \( x \) và \( y \) là số nguyên là:

\[
m = 1, -1, -3
\]