Cho a,b,c là số thực dương , cmr a/√(a²+b²) +b/√(b²+c²) +c/√(c²+a²) ≤ 3/(√2)

Đặt `(a^2,b^2,c^2)=(x,y,z)`, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

`\sqrt{x/(x+y)}+\sqrt{y/(y+z)}+\sqrt{z/(z+x)}<=3/(\sqrt{2})`

`<=>(\sqrt{x(y+z)(z+x)}+\sqrt{y(x+y)(z+x)}+\sqrt{z(y+z)(x+y)})/(\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)})<=3/(\sqrt{2})`

`<=>(\sqrt{(z+x)(xy+xz)}+\sqrt{(x+y)(yz+xy)}+\sqrt{(y+z)(xz+yz)})/(\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)})<=3/(\sqrt{2})`

$\bullet$ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và $8/9$ cho vế trái của bất đẳng thức, ta được :

`VT<=(\sqrt{(x+y+y+z+z+x)(xy+yz+yz+zx+zx+xy)})/(\sqrt{8/9(x+y+z)(xy+yz+zx)})`

`=(2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)})/((2\sqrt{2})/3\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)})=3/(\sqrt{2})`

Dấu "=" xảy ra `<=>x=y=z>0` 

`\sum_{cyc} a/\sqrt{a^2+b^2}`

`= \sum_{cyc} \sqrt{a^2/(a^2+b^2)}`
Đổi biến `(x,y,z) = (\sqrt{b^2/a^2},\sqrt{c^2/b^2},\sqrt{a^2/c^2})` `(x,y,z > 0; xyz = 1)` thì BĐT cần CM

`<=> \sum_{cyc} 1/\sqrt{1+x^2} le 3/sqrt2`

Không mất tính tổng quát giả sử `x = max{x;y;z}` ta có: `yz le 1`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

`1/2 (1/\sqrt{1+y^2} + 1/\sqrt{1+z^2})^2 le 1/(1+y^2) + 1/(1+z^2) = 1 + (1-y^2z^2)/((1+y^2)(1+z^2))`

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: `(1+y^2)(1+z^2) ge (1+yz)^2`

`=> 1 + (1-y^2z^2)/((1+y^2)(1+z^2)) le 1 + (1-y^2z^2)/(1+yz)^2 = 2/(1+yz)`

Do đó: `1/\sqrt{1+y^2} + 1/\sqrt{1+z^2} le 2/\sqrt{1+yz}`

$\\$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: `\sqrt{1+x^2} ge \sqrt{(x+1)^2/2} = (x+1)/\sqrt{2}`

`=> 1/\sqrt{1+x^2} le \sqrt{2}/(1+x)`

Vậy ta cần CM điều sau đúng: `\sqrt{2}/(1+x) + 2/\sqrt{1+yz} le 3/\sqrt{2}`

Thật vậy, đến đây xét hiệu ta được: `(\sqrt{1+x} - \sqrt{2x})^2/(2(x+1)) ge 0` (đúng)

Hoàn tất chứng minh

Dấu $"="$ xảy ra `<=> a=b=c=1`