minigame
Cho `p,q,r` nguyên tố thỏa mãn: `p^q+1=r^2` , tìm các cặp số `(p;q;r)` thỏa mãn.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`p^q + 1 = r^2`

`Do  p ; q ; r` nguyên tố `=> p ; q ; r >= 2`

`+` Xét  `p` lẻ `=> p^q + 1 ` chẵn `=> r^2` chẵn `=> r = 2` 

Khi đó: `p^q + 1 = 2^2`

`<=> p^q = 3`

`=>  p  \vdots  3` và `p` nguyên tố `=> p = 3 => q = 1` ( không thỏa mãn )

`+` Xét `p` chẵn `=> p = 2` ta có:

`2^q +1 = r^2`

Xét `q` lẻ `=> 2^q ≡ -1  ( mod 3 )`

`=> 2^q + 1 ≡ 0  ( mod 3 )`

`=> r^2  \vdots  3 => r^2  \vdots  9 => r  \vdots  3`

Mà `r` nguyên tố `=> r = 3`

Khi đó: `2^q + 1 = 3^2`

`<=>2^q = 8`

`<=> q = 3` 

Xét `q` chẵn `=> q = 2` khi đó: `2^2 + 1 = 5 = r^2` ( không tồn tại `r` thỏa mãn )

` Vậy  ( p ; q ; r ) = ( 2 ; 3 ; 3 )`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Xét `r^2\equiv0(mod3)`, tức `r\vdots3`, hay `r=3` (Vì `r` là số nguyên tố)

Khi đó: `p^q=r^2-1=8`

Với `p,q` là các số nguyên tố dễ dàng suy ra: `p=2,q=3`

Xét `r^2\equiv1(mod3)`, tức `p^q\vdots3`

Dễ thấy với `p` là số nguyên tố thì dễ dàng suy ra: `p=3`

Dễ thấy: `p^q=(r-1)(r+1)`, nếu `r` chẵn thì lập luận tương tự như trên, ta thu được `p=2,q=3`

Nếu `r` lẻ thì `r-1` và `r+1` là hai thừa số chẵn liên tiếp, tức `(r-1)(r+1)\vdots4`

Mặt khác: `p^q=3^q` là số lẻ với mọi `q` là số nguyên tố

Vậy `(p,q,r)=(2,3,3)`