Cho hai số thực $a,b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \dfrac{4(a^4+b^4)+a^2+b^2+8}{(a^2+a+1)(b^2+b+1)}$

Trước tiên ta chứng minh bđt sau:

`3a^4+3>=2a^3+2a^2+2a`

`⇔(a-1)^2(3a^2+4a+3)>=0`

Dễ thấy `3a^2+4a+3=a^2+2(a+1)^2+1>0` nên bđt trên luôn đúng

Dấu ''='' xảy ra khi `a=1`

`⇒4a^4+a^2+4>=a^4+2a^3+3a^2+2a+1=(a^2+a+1)^2`

Tương tự `4b^4+b^2+4>=(b^2+b+1)^2`

`⇒P >= ((a^2+a+1)^2+(b^2+b+1)^2)/((a^2+a+1)(b^2+b+1))`

      `>=(2\sqrt{(a^2+a+1)^2*(b^2+b+1)^2})/((a^2+a+1)(b^2+b+1))`

      `=(2(a^2+a+1)(b^2+b+1))/((a^2+a+1)(b^2+b+1))`

      `=2`

Dấu ''='' xảy ra khi `a=b=1`

Vậy Min`P=2⇔a=b=1`