Cho hình thoi ABCD, có cạnh a, BAD = 120°. Gọi o là giao điểm của hai đường chéo

Tính | Véc tơ OA- véc tơ DC|

`ABCD` là hình thoi `=> \vec{DC} = \vec{AB}` $\color{blue}{\textbf{(1)}}$

`O` là giao điểm của hai đường chéo `=> \vec{OA} = \vec{CO}`

Kẻ `E` là đỉnh thứ tư của hình bình hành `BOCE`

Khi đó, ta có: `\vec{CO} = \vec{EB}`

Do đó, ta suy ra: `\vec{OA} = \vec{EB}` $\color{blue}{\textbf{(2)}}$

Từ $\color{blue}{\textbf{(1)}}$ và $\color{blue}{\textbf{(2)}}$, ta có:

     `\vec{OA} - \vec{DC} = \vec{EB} - \vec{AB} = \vec{EA}`

`=> |\vec{OA} - \vec{DC}| = |\vec{EA}| = EA`

---

Ta thấy: Hình thoi `ABCD` có `\hat{BAD} = 120^o`

     `=> \hat{BAC} = 60^o`

Lại có: `BA = BC => \Delta ABC` đều `=> AC = AB = a`

---

Vì `O` là giao điểm hai đường chéo của hình thoi `ABCD` nên:

     $\bullet$ `\hat{O} = 90^o`

     $\bullet$ `OA = 1/2 AC = 1/2 a`

Ta có: `\Delta ABO` vuông tại `O`

`=> OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - (1/2 a)^2}`

             `= \sqrt{(4a^2)/4 - (a^2)/4} = \sqrt{(3a^2)/4} = (a \sqrt{3})/2`

Mà `OB = CE` (hình bình hành BOCE) `=> CE = (a \sqrt{3})/2`

---

`BOCE` là hình bình hành `=>` $BO \parallel CE$

Mà `BO \bot AC => CE \bot AC => \Delta ACE` vuông tại `C`

Do đó: `EA = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{a^2 + ((a \sqrt{3})/2)^2}`

                  `= \sqrt{(4a^2)/4 + (3a^2)/4} = \sqrt{(7a^2)/4} = (a \sqrt{7})/2`

Vậy, `|\vec{OA} - \vec{DC}| = (a \sqrt{7})/2`