Cho a,b là các số hữu tỷ. CMR: `a`$\sqrt{2}$ + `b`$\sqrt{3}$ là số hữu tỷ khi `a=b=0`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Đặt `a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = c  ( c in Q )`

`=> a\sqrt{2} = c - b\sqrt{3}`

`=> 2a^2 = c^2 - 2bc\sqrt{3} + 3b^2`

`=> c^2+3b^2 - 2a^2= 2bc\sqrt{3}`

`Do  a ; b ; c  in  Q => c^2 + 3b^2 - 2a^2  in  Q ; 2bc  in  Q`

` mà  \sqrt{3}  in  I => 2bc\sqrt{3}  in  I`

` Dấu = xảy  ra  <=> c^2 + 3b^2 - 2a^2 = 0  và  bc = 0`

Xảy ra các TH sau:

`+` TH `1:  c = 0 => a\sqrt{2} = -b\sqrt{3}`

`=> -a/b = ( \sqrt{2})/(\sqrt{3})` không là số hữu tỷ `=>` loại

`+` TH `2:  b = 0 => a\sqrt{2} = c` không là số hữu tỷ `=>` loại

`+` TH `3:  b = c = 0 => a = b = 0` thử lại TM

` Vậy  a = b = 0 <=> a\sqrt{2} + b\sqrt{3}  in  Q`

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

Giả sử `a`$\sqrt{2}$ `+` `b`$\sqrt{3}$ là số hữu tỷ. Ta có:
$\\$ (`a`$\sqrt{2}$ `+` `b`$\sqrt{3}$)(`a`$\sqrt{2}$ `-` `b`$\sqrt{3}$) `= 2a^2 - 3b^2`
$\\$ Do `2a^2 - 3b^2` là số hữu tỷ nên $\dfrac{2a^2 - 3b^2}{a\sqrt{2} + b\sqrt{3}}$ là số hữu tỷ.
$\\$ Ta lại có:
$\\$ `a`$\sqrt{2}$ `+` `b`$\sqrt{3}$ `-` `(a`$\sqrt{2}$ `-` `b`$\sqrt{3})$ `=` `2b`$\sqrt{3}$ là số hữu tỷ.
$\\$ `=>` $\sqrt{3}$ `=` $\dfrac{a\sqrt{2} +b\sqrt{3}-(a\sqrt{2} -b\sqrt{3})}{2b}$ `(1)`
$\\$ Rõ ràng ta thấy nếu b `\ne` `0` thì `VP` của `(1)` là số hữu tỷ. Mà `VT` là một số vô tỷ nên b `\ne` `0` là vô lý.
$\\$ Vậy để `2b`$\sqrt{3}$ là số hữu tỷ thì `b=0`.
$\\$ CMTT:
$\\$ `a`$\sqrt{2}$ `+` `b`$\sqrt{3}$ `+` `(a`$\sqrt{2}$ `-` `b`$\sqrt{3})$ `=` `2a`$\sqrt{2}$ là số hữu tỷ.
$\\$ `=>` $\sqrt{2}$ `=` $\dfrac{a\sqrt{2} +b\sqrt{3}+(a\sqrt{2} -b\sqrt{3})}{2a}$ `(2)`
$\\$ Rõ ràng ta thấy nếu a `\ne` `0` thì `VP` của `(2)` là số hữu tỷ. Mà `VT` là một số vô tỷ nên a `\ne` `0` là vô lý.
$\\$ Vậy để `2a`$\sqrt{2}$ là số hữu tỷ thì `a=0`.
-----------
$#HD247$
$#Math$
_demikamy_
##KHÔNG HIỂU CỨ HỎI##