Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng `2/3` độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Đáp án:

    Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là `u_1 = 2/3 . 5`.

    Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: `u_2 = 2/3u_1 = 2/3 . (\frac{2}{3}.5)=5.({2}/{3})^2.`

   Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: `u_3=2/3u_2=2/3⋅[5⋅(2/3)^2]=5⋅(2/3)^3` và cứ tiếp tục như vậy.

   Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là: `u_n=5.(2/3)^n`

   Ta có: `lim/{n->+oo} (2/3)^n = 0` do đó: `lim/{n->+oo} u_n=0` suy ra điều phải chứng minh.