Cho `A=(2^2021 +3^2021)/(2^2022 +3^2022)`

`CMR: A` tối giản

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi `ƯCLN(2^2021+3^2021; 2^2022+3^2022)=d` (`d∈N^(**)`)

Suy ra: `{(2^2021+3^2021 \vdots d),(2^2022+3^2022 \vdots d):}`

      `⇒` `{(2xx(2^2021+3^2021) \vdots d),(2^2022+3^2021xx3 \vdots d):}`

      `⇒` `{(2^2022+3^2021xx2 \vdots d),(2^2022+3^2021xx3 \vdots d):}`

      `⇒ (2^2022+3^2021xx3)-(2^2022+3^2021xx2) \vdots d`

      `⇒ 3^2021xx(3-2) \vdots d`

      `⇒ 3^2021 \vdots d`

      `⇒ d∈Ư(3^2021)={1;3;3^2;3^3;...3^2021}` `(1)`

Lại có: `2^2021+3^2021 \vdots d`

Mà `3^2021 \vdots d` nên `2^2021 \vdots d`

Suy ra: `d∈Ư(2^2021)={1;2;2^2;2^3;...;2^2021}` `(2)`

Mặt khác `d` lớn nhất `(3)`

Từ `(1); (2)` và `(3)` suy ra: `d=1`

Vậy `A` là phân số tối giản

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Muốn chứng minh phân số:` (A = \frac{{2^{2021} + 3{2021}}}{{2{2022} + 3^{2022}}})` là phân số tối giản, chúng ta sẽ phải thực hiện các bước sau:

`1)`Tìm ước chung lớn nhất `(ƯCLN)` của tử số và mẫu số: Gọi `(d = \text{ƯCLN}(2^{2021} + 3^{2021}, 2^{2022} + 3^{2022})).`Ta có:

`(2^{2021} + 3^{2021})` chia hết cho `(d).`

`(2^{2022} + 3^{2022})` chia hết cho `(d).`

Chứng minh `(d = 1):`

Vì `(2^{2021} + 3^{2021}) và (2^{2022} + 3^{2022})` đều chia hết cho `(d)`, nên `(2(2^{2021} + 3^{2021}))` cũng chia hết cho `(d).`

Tương tự như thế, `(2^{2022} + 2 \cdot 3^{2021})` cũng chia hết cho `(d).`

Kết hợp hai điều trên, chúng ta có: `[2^{2022} + 2 \cdot 3^{2021} - (2^{2022} + 3^{2022}) = 3^{2022} - 3^{2021} = 3^{2021} \cdot (3 - 1) = 2 \cdot 3^{2021}]` chia hết cho `(d).`

Vậy `(d)` cũng chia hết cho `(2).`

Tuy nhiên, `(2^{2022} + 3^{2022})` chia hết cho `(d)`, nên `(2^{2022} + 3^{2022})` chia hết cho `(2).`

Do đó, `(3^{2022})` cũng chia hết cho `(2)`, điều này không thể xảy ra.

Vì `(d = 1)`, nên phân số `(A)` là phân số tối giản.