Cho `\triangleABC` và hai điểm `M;N. AM; AN` đẳng giác `\hat{BAC}. BM: BN` đẳng giác `\hat{ABC}.` CMR `: CM;CN` đẳng giác `\hat{ACB}`

`M,N` ở đây là cặp điểm liên hợp đẳng giác trong `\triangle ABC`

______________________________________________

Gọi `I` là trung điểm `MN`

Gọi `X,Y,Z,X',Y',Z'` lần lượt là hình chiếu vuông góc của `M,N` trên `BC,CA,AB`

Ta có bổ đề sau: Cho `\hat{xOy}`, hai điểm `P,Q` bất kì. Gọi `X,Y` lần lượt là hình chiếu vuông góc của `P,Q` trên `Ox`, `Z,T` lần lượt là hình chiếu vuông góc của `P,Q` trên `Oy`. `OP,OQ` là hai đường đẳng giác trong `\hat{xOy}` khi và chỉ khi tứ giác `XYZT` nội tiếp 

Theo bổ đề trên ta có hai bộ 4 điểm `Y,Y',Z,Z'` và `X,X',Z,Z'` cùng nằm trên đường tròn tâm `I`

Do đó khoảng cách từ `I` đến 6 điểm `X,X',Y,Y',Z,Z'` là bằng nhau

`=> X,X',Y,Y'` đồng viên

`=> CM,CN` đẳng giác trong `\hat{ACB}` (đpcm)