tìm m nguyen để pt có 2 nghiệm phân biệt sao cho biểu thức có giá trị nguyên

x² - (2m+1)x + m² +2 =0

P=

$\frac{x1.x2}{x1+x2}$

Đáp án:
`m=4`
Lời giải chi tiết: 
Ta cho `PT(1)` là: `x^{2}-(2m+1).x+m^{2}+2=0`
Có: `a=1;b=-(2m+1);c=m^{2}+2`
Ta xét: `\Delta=b^{2}-4ac`
`=[-(2m+1)]^{2}-4.1.(m^{2}+2)`
`=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-8`
`=4m-7`
`+)` Để `PT(1)` có `2` nghiệm phân biệt thì: `\Delta>0<=>4m-7>0<=>m> 7/4`
`+)` Theo hệ thức Vi-ét: `x_{1}+x_{2}=-b/a=\frac{-[-(2m+1)]}{1}=2m+1`
                                    và `x_{1}.x_{2}=c/a=m^{2}+2`
`+)` Ta xét: `P=\frac{x_{1}.x_{2}}{x_{1}+x_{2}}`
Có: `x_{1}+x_{2}=m^{2}+2\ne0` (Luôn đúng)
`->P=\frac{m^{2}+2}{2m+1}`
`P\inZZ->4P\inZZ->\frac{4m^{2}+8}{2m+1}=\frac{4m^{2}-1+9}{2m+1}`
`=2m-1+\frac{9}{2m+1}\inZZ`
`=>\frac{9}{2m+1}\inZZ`
`=>2m+1\in Ư(9) ={\pm1;\pm3;\pm9}`
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}2m+1=1\\2m+1=-1\\2m+1=3\\2m+1=-3\\2m+1=-9\\2m+1=9\end{array} \right.\)
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-1\\m=1\\m=-2\\m=-5\\m=4\end{array} \right.\) 
Kết hợp điều kiện `m\inZZ;m>7/4`
`=>m=4(tmđk)`
Vậy `m=4` là giá trị `m` thoả mãn.

`x^2-(2m+1)x+m^2+2=0(**)`

`Delta=(2m+1)^2-4.1.(m^2+2)=4m^2+4m+1-4m^2-8=4m-7`

Để pt `(**)` có `2` nghiệm pb `<=>Delta>0<=>4m-7>0<=>m>7/4`

Theo Viet: `{(x_1+x_2=2m+1),(x_1x_2=m^2+2):}`

Theo đề bài: `P=(x_1x_2)/(x_1+x_2)=(m^2+2)/(2m+1)`

`=>4P=(4m^2+8)/(2m+1)=(4m^2-1+9)/(2m+1)=((2m-1)(2m+1)+9)/(2m+1)=2m-1+9/(2m+1)`

Để `P\inZZ` thì: `4P\inZZ=>9/(2m+1)\inZZ`

`=>9\vdots(2m+1)=>2m+1in Ư(9)={+-1;+-3;+-9}`

Ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{2m+1}&\text{1}&\text{-1}&\text{3}&\text{-3}&\text{9}&\text{9}\\\hline \text{m}&\text{0(KTM)}&\text{-1(KTM)}&\text{1(KTM)}&\text{-2(KTM)}&\text{-5(KTM)}&\text{4(TM)}\\\hline\end{array}

Vậy `m=4` là giá trị cần tìm.