cho `3` số nguyên tố `a;b;c` tm `sqrt[a + b] + sqrt[b + c] + sqrt[a + c] = 8`

$#nobody$

`sqrt[a + b] + sqrt[b + c] + sqrt[c + a] = 8(a ; b ; c \in P)`

`TH1 : ``sqrt[a + b] ; sqrt[b + c] ; sqrt[c + a]` là số tự nhiên

`=> a + b ; b + c ; c + a` là số chính phương

Ta có:

pt `<=> sqrt[a + b] + sqrt[b + c] = 8 - sqrt[c + a]`

Vì `sqrt[a + b] + sqrt[b + c] >= sqrt[2 + 2] + sqrt[2 + 2] = 4`

`=> 8 - sqrt[c + a] >= 4`

`<=> sqrt[c + a] <= 4 <=> a + c <= 16`

Đến đây , ta chỉ cần xét `TH``a + c` là số chính phương rồi suy ra hoán vị vì `a ; b ; c` có vai trò như nhau

Lại có : `a + c >= 2 + 2 = 4`

`+) a + c = 4 => (a ; c) = (2 ; 2)`

Suy ra : `sqrt[b + 2] + sqrt[b + 2] + 2 = 8`

`<=> 2sqrt[b + 2] = 6`

`<=> sqrt[b + 2] = 3`

`<=> b + 2 = 9`

`<=> b = 7(tm)`

`=> (a ; b ; c) = (2 ; 7 ; 2)` và hoán vị

`+) a + c = 9 => (a ; c) = (2 ; 7)` và hoán vị

Mà `(a ; b ; c) = (2 ; 7 ; 2)` và hoán vị `=>` Không cần xét `TH` này

`+) a + c = 16 => (a ; c) = (3 ; 13) ; (5 ; 11)` và hoán vị

Với `(a ; c) = (3 ; 13)` và hoán vị

`=> sqrt[b + 3] + sqrt[b + 13] + 4 = 8`

`<=> sqrt[b + 3] + sqrt[b + 13] = 4`

Ta có:

`sqrt[b + 3] + sqrt[b + 13] >= sqrt[2 + 3] + sqrt[2 + 13] = sqrt5 + sqrt15 > 4`

`=>` pt vô nghiệm

Với `(a ; c) = (5 ; 11)` và hoán vị

`=> sqrt[b + 5] + sqrt[b + 11] + 4 = 8`

`<=> sqrt[b + 5] + sqrt[b + 11] = 4`

Ta có:

`sqrt[b + 5] + sqrt[b + 11] >= sqrt[2 + 5] + sqrt[2 + 11] = sqrt7 + sqrt13 > 4`

`=>` pt vô nghiệm

`=> (a ; b ; c) = (2 ; 7 ; 2)` và hoán vị

`TH2 : sqrt[a + b] ; sqrt[b + c] ; sqrt[c + a]` là số vô tỉ

Dễ cm `sqrt[a + b] + sqrt[b + c] + sqrt[c + a]` là số vô tỉ

`=> 8` là số vô tỉ(Vô lý)

`=> L`

Vậy : `(a ; b ; c) = (2 ; 7 ; 2)` và hoán vị