tìm số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n;x;y thỏa mãn p^n =x^3+ y^3 

Đáp án:

`p in {2;3}`

Giải thích các bước giải:

`@` Xét `p = 2` ta có bộ ba số `(x,y,n) = (1,1,1)` thỏa mãn đề bài

`@` Xét `p = 3` ta có bộ ba số `(x,y,n) = (1,2,2)` thỏa mãn đề bài

`@` Xét `p > 3` giả sử tồn tại bộ ba số `(x,y,n)` thỏa mãn đẳng thức. 
Ta xét bộ `(x,y,n)` có giá trị của `n min`

Ta có: `(x+y)(x^2-xy+y^2) = p^n`

Do `p > 3` nên `(x,y) ne (1,1)` và `x^2-xy+y^2 ge x+y > 2`

Mà `p` là số nguyên tố nên ta đặt `{(x^2-xy+y^2 = p^a),(x+y = p^b):}` `(a,b in NN)`

Từ phép đặt suy ra `a>b ge 2`

$\\$

Ta có: `{(p | x+y),(p | x^2-xy+y^2):}`

`=> {(p | x+y),(p | (x+y)^2-3xy):}`

`=> {(p | x+y),(p | 3xy):}`

Do `p > 3 => (p,3) = 1`

Vậy nên `{(p | x+y),(p | xy):}`

`=> {(p | x),(p | y):}`
$\\$

Có: `p^n = x^3+y^3`

`<=> p^(n-3) = (x/p)^3 + (y/p)^3`

Lập luận tương tự, ta chỉ ra bộ `(x/p,y/p,n-3)` ngoài bộ `(x,y,n)` thỏa mãn đề bài

Nhưng điều này mâu thuẫn do `n min`

Do đó: `p in {2;3}` là thỏa mãn yêu cầu bài toán