Giúp mình với ạ!! Mình xin cảm ơn

Đáp án:

$a)$ $u_n=-1$
$b)$ `u_n=\frac{1}{2^{n+1}}+1`
$c)$ $u_n=5n-4$
$d)$ `u_n=\frac{1}{n}`
$e)$ $u_n=2$
$f)$ $u_n=5^{n-1}$

Giải thích các bước giải:

$a)$ $(u_n):\begin{cases}u_1=-1\\u_{n+1}=2u_n+1\end{cases}$ $(n\in N*)$

Ta có: $u_2=2u_1+1=-1$

$u_3=2u_2+1=-1$

$u_4=2u_3+1=-1$
$...$

Nhận thấy $(u_n)$ là một dãy không đổi nên số hạng tổng quát $u_n=u_1=-1$

-----------

$b)$ $(u_n):\begin{cases}u_1=\frac{5}{4}\\u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}\end{cases}$ $(n\in N*)$

Phương pháp: Với dãy số có dạng $(u_n):\begin{cases}u_1\\u_{n+1}=q.u_n+d\end{cases}$ $(n\in N*)$

Bước 1. Đặt dãy số phụ `x_n=u_n+\frac{d}{q-1}`

Bước 2. Biến đổi, tìm mối liên hệ giữa $x_{n+1}$ và $x_n$, thu được $(x_n)$ là một cấp số nhân.

Bước 3. Viết số hạng tổng quát của $(x_n)$, sau đó thay $u_n$ vào theo $x_n$ đã đặt để tính được $u_n$.

Lời giải:

Đặt $x_n=u_n-1⇒x_{n+1}=u_{n+1}-1$

`⇔x_{n+1}=\frac{1}{2}u_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(u_n-1)`

`⇔x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n`

$⇒(x_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu `x_1=u_1-1=\frac{1}{4}` và công bội `q=\frac{1}{2}`

$⇒$ Số hạng tổng quát `x_n=\frac{1}{4}.(\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{2^{n+1}}`

`⇒u_n-1=\frac{1}{2^{n+1}}⇔u_n=\frac{1}{2^{n+1}}+1`

-----------

$c)$ $(u_n):\begin{cases}u_1=1\\u_{n+1}=u_1+5\end{cases}$ $(n\in N*)$

`⇒ (Un)` là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=1$ và công sai `d=5` nên số hạng tổng quát là $u_n=1+(n-1).5=5n-4$

-----------

$d)$ $(u_n):\begin{cases}u_1=1\\u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\end{cases}$ $(n\in N*)$

Phương pháp: Với dãy số có dạng $(u_n):\begin{cases}u_1\\u_{n+1}=\frac{c.u_n}{q.u_n+d}\end{cases}$ $(n\in N*)$

Bước 1. Lấy nghịch đảo của $u_{n+1}$

Bước 2. Đặt dãy số phụ `x_n=\frac{1}{u_n}`.

Bước 3. Biến đổi, tìm mối liên hệ giữa $x_{n+1}$ và $x_n$, thu được $(x_n)$ là một cấp số cộng/nhân hoặc một dạng $x_{n+1}=q.x_n+d$ (nếu ra dạng này thì đặt thêm dãy số phụ $(y_n)$ và tiếp tục giải như câu $b)$.

Bước 4. Viết số hạng tổng quát của $(x_n)$, sau đó thay $u_n$ vào theo $x_n$ đã đặt để tính được $u_n$.

Lời giải:

Ta có: `\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+1`

Đặt `x_n=\frac{1}{u_n}`

`⇒x_{n+1)=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+1`

`⇔x_{n+1)=x_n+1`

$⇒(x_n)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $x_1=\frac{1}{u_1}=1$ và công sai $d=1$ nên số hạng tổng quát là $x_n=1+(n-1).1=n$

`⇔\frac{1}{u_n}=n⇔u_n=\frac{1}{n}`

-----------

$e)$ $u_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}$

$u_n^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}$

$⇒u_n^2-u_n=2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}=2$

$⇔u_n^2-u_n-2=0⇔\left[ \begin{array}{l}u_n=-1\\u_n=2\end{array} \right.$

Do $u_n$ mang dấu căn nên $u_n>0⇒u_n=2$

-----------

$f)$ $(u_n):\begin{cases}u_1=1\\u_{n+1}=5u_n\end{cases}$ $(n\in N*)$

`⇒ (Un)` là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội `q=5` nên số hạng tổng quát là $u_n=1.5^{n-1}=5^{n-1}$