Xét tính đúng sai của mệnh đề sau `AA x\in RR , x^4+x+1>0`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Nếu `x >= 0 => x^4 + x + 1 > 0`.

Nếu `x = -1 => x^4 + x + 1 = 1 - 1 + 1 > 0`.

Nếu `x < -1 => x^4 + x = x(x^3 +1) > 0`

Do `x < 0, x^3 - 1 < 0 => x(x^3 - 1) > 0`.

`A =x^4 + x + 1 = x^4 + x^2 + 1 + x - x^2`.

Do `x^4 + x^2 + 1 = (x^2+1/2)^2 + 3/4 > 0`.

Nếu `-1 < x < 0 => x^2 < x => x - x^2  > 0`.

`=> A > 0`.

Vậy `forall x in RR, x^4 + x + 1 > 0`.

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`AA x in RR, x^{4}+x+1>0`

Ta xét `x^{4}+x+1` có :

`=x(x^{3}+1)+1`

`=x[(x+1)(x^{2}-x+1)]+1`

`=x(x+1)(x^{2}-x+1)+1`

`=x(x+1)[x^{2}-2.x.(1)/(2)+(1/2)^{2}+(3)/(4)]+1`

`=x(x+1)[(x-(1)/(2))^{2}+3/4]+1`

*Nhận xét : Vì `(x-(1)/(2))^{2}+3/4>0` với mọi `x` thuộc `RR`. Nên ta thấy với mọi giá trị `x` xảy ra biểu thức trên luôn dương

Giả sử dấu "=" xảy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức `(x-(1)/(2))^{2}+3/4` đạt được tại `x=1/2`

Ta được phương trình bên trên tương đương với `(3)/(4)x(x+1)+1`

`<=>(3)/(4)(x^{2}+x)+1`

`=(3)/(4)(x^{2}+x)+(3)/(4)+(1)/(4)`

`=(3)/(4)(x^{2}+x+1)+(1)/(4)`

`=(3)/(4)[x^{2}+2.x.(1)/(2)+(1)/(4)+(3)/(4)]+(1)/(4)`

`=(3)/(4)[x^{2}+2.x.(1)/(2)+((1)/(2))^{2}+(3)/(4)]+(1)/(4)`

`=(3)/(4)[(x+(1)/(2))^{2}+(3)/(4)]+(1)/(4)`

`=(3)/(4)(x+1/2)^{2}+(9)/(16)+(1)/(4)`

`=(3)/(4)(x+1/2)^{2}+(13)/(16)`

*Ta có : `(x+1/2)^{2}>=0 AA x in RR`

`<=>(3)/(4)(x+1/2)^{2}>=0`

`<=>(3)/(4)(x+1/2)^{2}+(13)/(16)>=(13)/(16)>0`

Vậy `x^{4}+x+1>0AA x in RR`

`->` Vậy mệnh đề trên đúng

`---------`

Ngoài cách bên trên bạn tham khảo bảng xét dấu bên dưới của mình nhé !

Mình xét tứ khúc này nhé `x(x+1)[(x-(1)/(2))^{2}+3/4]+1`

\begin{array}{|c|cc|} \hline x&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\\hline x&&-&|&-&0&+&\\\hline x+1&&-&0&+&|&+& \\\hline (x-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{4}&&+&|&+&|&+&\\\hline x(x+1)[(x-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{4}]+1&&+&1&\Big|\Big|&1&+&\\\hline \end{array}

*Nhận xét : Từ khoảng `(-oo;-1]uu[0;+oo)` `x` luôn đạt giá trị dương nên ta chỉ xét từ khoảng `(-1;0)`

Xét khoảng `(-1;0)` hay `-1<x<0` ta có :

Dễ thấy `x` âm 

Phương trình tương đương với :

`x^4 - x + 1 = x^4 - x^2 + 1/4 + x^2 - x + 1/4 + 1/2`

`=(x^2-1/2)^2 + (x-1/2)^2 + 1/2`

Do `(x^2-1/2)^2AA x in RR` và ` (x-1/2)^2 >= 0 AA x in RR`

`=>` `(x^2-1/2)^2 + (x-1/2)^2 + 1/2>=(1)/(2)>0`

Vậy trong khoảng `(-1;0)` thì `x^{4}+x+1` cũng luôn dương

`->` Vậy mệnh đề trên đúng