`a,b,c in ZZ. (a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c.CMR: 54 | a+b+c  .`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c(1)`

Xét ba trường hợp:

TH1: Khi cả ba số `a,b,c` chia cho `3` thì không cùng số dư

Khi đó: `a+b+c\vdots3`

Mặt khác khi đó: Cả ba số `a-b;b-c;c-a` không chia hết cho `3`, tức `(a-b)(b-c)(c-a)` không chia hết cho `3` (Điều này vô lí với `(1)`)

TH2: Trong ba số `a,b,c` chia cho `3` có hai số có cùng số dư 

Khi đó: Một trong ba số `a-b;b-c;c-a` chia hết cho `3`, tức `(a-b)(b-c)(c-a)\vdots3`

Mặt khác khi đó: `a+b+c` không chia hết cho `3` (Điều này vô lí với `(1)`)

TH3: Cả ba số `a,b,c` chia cho `3` thì đều cùng số dư

Khi đó cả ba số `a-b;b-c;c-a` đều chia hết cho `3`, tức `(a-b)(b-c)(c-a)\vdots27`

Kết hợp với `(1),` dễ dàng suy ra `a+b+c\vdots27(2)`

Ta có nhận xét: Trong ba số `a,b,c` có hai số có cùng tính chẵn lẻ

Khi đó: Một trong ba số `a-b;b-c;c-a` chia hết cho `2`, tức `(a-b)(b-c)(c-a)\vdots2`

Kết hợp với `(1)`, dễ dàng suy ra `a+b+c\vdots2(3)`

Mà: `(2,27)=1` nên từ `(2),(3)` suy ra: `a+b+c\vdots54`

Vậy `54|a+b+c`

Đáp ánGiải thích các bước giải:

`Do  a ; b ; c  in  Z`

`=>` xảy ra `1` trong `3` TH sau:

`+` TH `1:  a ≡ b ≡ c  ( mod 3 )`

`=> a - b ; b - c ; c - a  \vdots  3`

`=> ( a - b )( b - c )( c - a )  \vdots  27  hay  a + b + c  \vdots  27  ( 1 )`

`+` TH `2:` có `2` số cùng dư khi chia cho `3` và `1` số khác dư khi chia cho `3` không mất tính tổng quát giả sử `2` số cùng dư là `a ; b`

`=> a - b  \vdots  3 => ( a - b )( b - c )( c - a )  \vdots  3`

` Mà  a + b + c` không chia hết cho `3 =>` vô lí `=>` loại 

`+` TH `3:` cả `3` số khác dư khi chia cho `3`

`=> a - b ; b - c ; c - a` không chia hết cho `3 => ( a - b )( b - c )( c - a )` không chia hết cho `3`

` Mà  a + b + c  \vdots  3 =>` vô lí `=>` loại

`Do  a ; b ;c  in  Z`

Nếu `a ; b ; c` cùng lẻ

`=> a + b + c` không chia hết cho `2` và  `( a - b )( b - c )( c - a )  \vdots  2`

`=>` vô lí `=>` loại

Nếu `a ; b ; c` có `2` số lẻ `1` số chẵn 

`=> a + b + c  \vdots  2  và   ( a - b )( b - c )( c - a )  \vdots  2`

`=> a + b + c  \vdots  2  ( 2 )`

Nếu `a ; b ; c` có `2` số chẵn `1` số lẻ

`=> a + b + c` không chia hết cho `2` và  `( a - b )( b - c )( c -a )  \vdots  2`

`=>` vô lí `=>` loại

Nếu `a ; b ; c` cùng chẵn `=> a + b + c  \vdots  2  ( 3 )`

Từ `( 2 ) ; ( 3 ) => a + b + c  \vdots  2  ( 4 )`

` Mà ( 27 ; 2 ) = 1  và  27 . 2 = 54  ( 5 )`

Từ `( 1 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) => a + b + c  \vdots  54` ( đpcm )