Cho `p` là số nguyên tố và `q in NN^***` tìm `p,q` thỏa mãn phương trình:

`p^2+3^q=(2022q)^2  .`

Đáp án:

`p^2 + 3^q = (2022q)^2`

Nhận thấy `2022 \vdots 3`

`=> 2022q equiv 0 (mod 3)`

`=> (2022q)^2 equiv 0 (mod 3)`

`=> p^2 + 3^q equiv 0 (mod 3)`

`=> p^2 equiv 0 (mod 3)`

Vì `p` nguyên tố nên `p = 3`

`=> 9 + 3^q = (2022q)^2`

Vì `(2022q)^2` là một số chính phương nên `9 + 3^q` là số chính phương

Đặt `9 + 3^q = a^2 (a \in ZZ)`

`=> 3^q = a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)`

`=> {(a - 3 = 3^m),(a + 3 = 3^n):} (m;n \in ZZ^+ ; m + n = q ; 0 < m < n < q)`

`=> 3^n - 3^m = 6`

`=> 3^m . (3^(n - m) - 1) = 6`

`=> {(3^m = 3),(3^(n-m)-1=2):}`

`=> {(m = 1),(n = 2):}`

`=> a = 6`

`=> 9 + 3^q = 36`

`=> 3^q  = 27 => q = 3`

Thử lại thấy không thỏa mãn

Vậy không tồn tại `p,q` thỏa mãn phương trình

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`p^2 + 3^q = ( 2022q )^2`

`Do  3^q  \vdots  3  AA  q in N`*

`( 2022q )^2  \vdots   3`

`=> p^2  \vdots  3 => p^2  \vdots  9 => p  \vdots  3`

`Do  p` là số nguyên tố `=> p = 3`

Khi đó: `3^2 + 3^q = ( 2022q )^2`

`=> ( 2022q )^2 - 9 = 3^q`

`=> ( 2022q - 3 )( 2022q + 3 ) = 3^q`

Tồn tại `a ; b  in  N` sao cho:

`{(2022q - 3 = 3^a),(2022q + 3 = 3^b):}  ( a < b ; a + b = q )`

Khi đó: `3^b - 3^a = 6`

`<=> 3^a( 3^(b-a) - 1 ) = 6`

`Do  3^a` lẻ `AA  a  in  N`

Xét `3^a = 1 => a = 0` khi đó: `3^b - 1 = 6`

`=> 3^b = 7` ( vô lí )

Xét `3^a = 3 => a = 1` khi đó: `3^( b - 1 ) - 1 = 2`

`=> 3^( b - 1 ) = 3`

`=> b - 1 = 1`

`<=> b = 2`

`<=> q = a + b = 3`

Thử lại KTM

` Vậy  p ; q  in  ∅`