Giúp ạ

`a,` Ta có:

`AB ∩ AH =A`

`=>` Tọa độ `A` là nghiệm của hệ phương trình:

`{(x-3y+11=0),(3x+7y-15=0):}`

`<=>{(x=-2),(y=3):}`

`=>A(-2;3)`

Ta lại có:

`AB ∩ BK =B`

`=>` Tọa độ `A` là nghiệm của hệ phương trình:

`{(x-3y+11=0),(3x-5y+13=0):}`

`<=>{(x=4),(y=5):}`

`=>B(4;5)`

`b,` Ta có:

`vec{AB}=(6;2)`

`=>vec{n_(AB)}=(2;-6)`

Ta có `AB` đi qua B, nhận `vec{n_(AB)}` làm vecto pháp tuyến

`=>AB:2(x-4)-6(y-5)=0`

`<=>2x-6y+22=0`

`<=>x-3y+11=0`

Vậy `AB:x-3y+11=0`

`c, vec{n_(AH)}=(3;7)=>vec{u_(AH)}=(7;-3)`

Ta có `BC` đi qua B, nhận `vec{u_(AH))}` làm vecto pháp tuyến

`=>BC:7(x-4)-3(y-5)=0`

`<=>7x-3y-13=0`

Ta có: `BC ∩ AH =H`

`=>` Tọa độ `H` là nghiệm của hệ phương trình:

`{(7x-3y-13=0),(3x+7y-15=0):}`

`<=>{(x= 68/29),(y=33/29):}`

Ta có:

`vec{n_(BK)}=(3;-5)=>vec{u_(BK)}=(5;3)`

Ta có `AC` đi qua A, nhận `vec{u_(BK))}` làm vecto pháp tuyến

`=>AC:5(x+2)+3(y-3)=0`

`<=>5x+3y+1=0`

Ta có:

`AC∩BC=C`

`=>` Tọa độ `C` là nghiệm của hệ phương trình:

`{(5x+3y+1=0),(7x-3y-13=0):}`

`<=>{(x=1),(y=-2):}`

Ta có:

`AH=d(A,BC) = |-2.7+3.(-3)-13|/sqrt(7^2 +3^2) = (18sqrt58)/29`

`BC=sqrt((1-4)^2 + (-2-5)^2)=sqrt58`

`=>S= (AH.BC)/2= 18`

Giải thích các bước giải:

a.Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ;

$\begin{cases}x-3y+11=0\\3x+7y-15=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}$

$\to A(-2, 3)$

Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}x-3y+11=0\\ 3x-5y+13=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$

$\to B(4,5)$

b.Phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh $AB$ là $x-3y+11=0$

Đặt $y=t\to x=3t-11$

$\to \begin{cases}x=3t-11\to y=t\end{cases}$ là phương trình tam số của đường thẳng chứa canjh$AB$

c.Ta có: $\vec{n_{BK}}=(3,-5)$ là vector pháp tuyến của $BK$

$\to \vec{n_{AC}}=(5, 3)$ là vector pháp tuyến của $AC$ vì $BK\perp AC$

$\to$Phương trình $AC$ là:

$$5(x+2)+3(y-3)=0\to 5x+3y+1=0$$

Ta có: $\vec{n_{AH}}=(3,7)$ là vector pháp tuyến của $AH$

Vì $AH\perp BC$

$\to \vec{n_{BC}}=(7, -3)$ là vector pháp tuyến của $BC$

Phương trình $BC$ là:

$$7(x-4)-3(y-5)=0\to 7x-3y-13=0$$

Tọa độ $H$ là:

$\begin{cases}7x-3y-19=0\\ 3x+7y-15=0\end{cases}$

$\to x=\dfrac{68}{29}, y=\dfrac{33}{29}$

$\to H(\dfrac{68}{29}, \dfrac{33}{29})$

Tọa độ điểm $C$ là:

$\begin{cases}7x-3y-13=0 \\5x+3y+1=0  \end{cases}$

$\to x=1, y=-2$

$\to C(1, -2)$

Ta có: 

$BC=\sqrt{(4-1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{58}$

$AH=\sqrt{(-2-\dfrac{68}{29})^2+(3-\dfrac{33}{29})^2}=\dfrac{18\sqrt{2}}{\sqrt{29}}$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12\cdot \dfrac{18\sqrt{2}}{\sqrt{29}}\cdot \sqrt{58}=18$